Math-4e-sec-TS4-CSSBE-CSSDM: Ressources

Chapitre 1

Résumé des notes de cours chap1

Vidéo de théorie et exercices -Opérations sur les polynômes

1- Écouter la vidéo ci-dessous.

Si tu le préfères, tu peux écouter la vidéo par parties.

Ces parties sont disponibles dans les onglets "Vidéo", après la série d'exercices.

2- Répondre aux exercices sur du papier.

Les questions des exercices se retrouvent dans les onglets «Q» ci-dessous.

3- Corriger les exercices.

Les réponses (corrigés) pour chacune des questions se retrouvent dans les onglets «R» ci-dessous.

Vidéo de théorie et exercices-Mise en évidence

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Vidéo de théorie et exercices-Identités du second degré

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Vidéo de théorie et exercices-Factorisation du second degré

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Corrigé avec démarche complétion de carré a à e

Corrigé avec démarche complétion de carré f à i

Corrigé avec démarche complétion de carré j à l

Vidéo de théorie et exercices-Fractions algébriques

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Attention!

Petite coquille dans la vidéo, à l'exemple E.

On devrait lire a²+5a+ 6 et non a²+5x+ 6.

Vidéo de théorie et exercices-Addition et soustraction de fractions algébriques

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Vidéo de théorie et exercices-Multiplication et division de fractions algébriques

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Exercices de révision du chapitre 1

Chapitre 2

Résumé des notes de cours chapitre 2

Vidéo de théorie et exercices-Les fonctions et leurs propriétés

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Vidéo de théorie et exercices-Fonction en escalier

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Vidéo de théorie et exercices-Fonction polynominale de degré 2 (quadratique)

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Vidéo de théorie et exercices-Fonction exponentielle

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Changement de base

Loi sur le changement de base :

$début de style de taille 26px log indice a espace c égal à numérateur de la fraction log indice 10 espace fin d'indice c au-dessus du dénominateur log indice 10 espace fin d'indice a fin de la fraction fin de style$

Cette loi nous permet, par exemple, de calculer la valeur d'une variable dans une équation exponentielle qui n'utilise pas la base 10.

Exemple : Calcule la valeur de x dans $5 puissance x égal à 202$ .

On sait que $début de style de taille 20px 5 puissance x égal à 202 espace fin de style$ correspond à $début de style de taille 20px log indice 5 202 égal à x fin de style$ .

Grâce à la l'égalité suivante :

$taille 26px m taille 26px espace taille 26px égal à taille 26px espace taille 26px parenthèse gauche taille 26px b taille 26px a taille 26px s taille 26px e taille 26px parenthèse droite puissance taille 26px n taille 26px double flèche bilatérale taille 26px n taille 26px espace taille 26px égal à taille 26px log indice taille 26px parenthèse gauche taille 26px b taille 26px a taille 26px s taille 26px e taille 26px parenthèse droite fin d'indice taille 26px m$

Cependant, sur les calculatrices conventionnelles, on ne peut évaluer

$début de style de taille 20px log indice 5 202 fin de style$

et c'est à ce moment que l'on utilise la formule de changement de base :

$début de style de taille 24px log indice a espace c égal à numérateur de la fraction log indice 10 espace c au-dessus du dénominateur log indice 10 espace fin d'indice a fin de la fraction fin de style$

d'où

$début de style de taille 20px x égal à log indice 5 202 fin de style$

devient

$début de style de taille 20px x égal à numérateur de la fraction log indice 10 202 au-dessus du dénominateur log indice 10 5 fin de la fraction égal à 3 virgule 2982... fin de style$

Ainsi, 3,2982 est la valeur que l'on doit affecter comme exposant à 5 pour obtenir 202 comme puissance.

$début de style de taille 20px 5 puissance 3 virgule 2982 fin de l'exposant égal à 201 virgule 996046 fin de style$

P.S. On n'obtient pas précisément 202 car on a oublié volontairement les chiffres après les dix-millièmes dans 3,298212162....

Fais les exercices ci-dessous.

La fonction logarithmique

Cette fonction est la réciproque d'une fonction exponentielle.
Il s'agit d'une fonction dont la règle est :

$f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à a espace log indice parenthèse gauche b a s e parenthèse droite fin d'indice b x espace virgule espace o u espace a espace pas égal à 0 espace virgule espace b espace pas égal à 0 espace e t espace o ù espace l a espace b a s e espace e s t espace s u p é r i e u r e espace à espace 0 espace e t espace d i f f é r e n t e espace d e espace 1.$

La représentation graphique est une courbe :

- passant par le point $ouvrir la parenthèse 1 sur b virgule espace 0 fermer la parenthèse$ "
- dont l'une des extrémités se rapproche de l'axe des ordonnées sans jamais y toucher.

Équivalences

Première équivalence

Cette équivalence permet de passer d'une forme d'écriture exponentielle à une forme logarithmique, et vice versa.

$début de style de taille 26px m espace égal à espace parenthèse gauche b a s e parenthèse droite puissance n double flèche bilatérale n espace égal à log indice parenthèse gauche b a s e parenthèse droite fin d'indice m fin de style$

Exemples

$20 espace égal à espace 9 puissance x double flèche bilatérale x espace égal à espace log indice 9 espace 20 15 espace égal à espace 4 puissance 2 x fin de l'exposant double flèche bilatérale 2 x espace égal à espace log indice 4 espace 15$

Cas particulier :

n espace égal à espace log espace m espace double flèche bilatérale 10 puissance n espace égal à espace m

Deuxième équivalence

Cette équivalence permet de calculer le logarithmique d'un nombre peut importe la base.

$début de style de taille 26px log indice c espace m espace égal à numérateur de la fraction log indice d m au-dessus du dénominateur l o g indice d c fin de la fraction espace virgule espace o ù espace m pas égal à 0 virgule espace c pas égal à 0 espace e t espace o u espace l a espace b a s e espace d espace e s t espace s u p é r i e u r e espace e t espace d i f f é r e n t e espace d e espace 1. fin de style$

Exemples

$log indice 2 7 espace égal à numérateur de la fraction log espace 7 au-dessus du dénominateur log espace 2 fin de la fraction 4 espace log indice 5 9 espace égal à espace 4 ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction log espace 9 au-dessus du dénominateur log espace 5 fin de la fraction fermer la parenthèse$

Écoute les 10 premières minutes de la vidéo.

Recherche de la règle d'une fonction logarithmique

Pour déterminer la règle d'une fonction logarithmique $f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à a espace log indice parenthèse gauche b a s e parenthèse droite fin d'indice espace b x$ , il faut:

1. Déduire certains renseignements de la situation, si possible, trouver le paramètre b avec le point $ouvrir la parenthèse 1 sur b virgule espace 0 fermer la parenthèse$ .
2. Remplacer les coordonnées x et y de la fonction par les coordonnées d'un point (x, y) de la fonction (non situé sur l'axe des abscisses).
3. Résoudre l'équation formée à l'aide des règles de transformations des équations pour obtenir une équation de la forme $m espace égal à espace log indice parenthèse gauche b a s e parenthèse droite fin d'indice n$ .
4. Écrire la règle de la fonction obtenue sous la forme exponentielle et déterminer la valeur recherchée;
5. Écrire la règle de la fonction sous la forme logarithmique.

Vidéo de théorie et exercices-Fonctions périodique et définie par parties

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Fonction racine carrée

Les radicaux

Par convention, on écrit $\sqrt x$ ou $\sqrt[2] {x}$ pour exprimer la racine carrée de x.

La racine carrée est un exposant fractionnaire de ½ .

En effet, $\sqrt 4 = 4^{\frac {1}{2}}= \sqrt[2] {4}$ $= \sqrt[2] {2^2} = 2$ .

De la même façon :

$\sqrt 3 = \sqrt[2] {3} = 3^{\frac {1}{2}}$

Ou encore :

$\sqrt {xy} = \sqrt[2] {xy} = (xy)^{\frac {1}{2}}$

Propriétés des radicaux


Propriétés	Restrictions	Exemples
$\sqrt[n] {a^m} = a^{\frac {m}{n}}$ ,	Pour $a > 0$	$\sqrt[8] {25^4} = 25^{\frac {4}{8}} = 25^{\frac {1}{2}} = 5$
$\sqrt a \times \sqrt b = \sqrt {ab}$	Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$	$\sqrt 3 \times \sqrt 5 = \sqrt {3 \times 5} = \sqrt {15}$
$\frac {\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt {\frac {a}{b}}$	Pour $a \ge 0$ et $b > 0$	$\frac {\sqrt 10}{\sqrt 2} = \sqrt {\frac {10}{2}} = \sqrt 5$

Théorie

$Theorie$

$handout$

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée de base s'exprime à l'aide de la règle : $f(x)=\sqrt {x}$ .

La représentation graphique est une courbe dont le sommet est à l'origine du plan cartésien.

En lui appliquant les paramètres multiplicatifs a et b, on obtient :

$f(x) = a\sqrt {bx}$ où a et b sont différents de zéro.

Voici le graphique de la fonction racine carrée transformée:

Utilise les curseurs a et b pour voir les modifications de la courbe.

Recherche de la règle d'une fonction racine carrée

Dans les préalables, tu as étudié les propriétés des radicaux. Ils nous permettent de transformer une règle de la forme

$f(x) = a\sqrt {bx}$

en une règle de la forme $f(x) = a\sqrt {\pm x}$

Exemples

$f(x) = 5 \sqrt {4x}$

$= 5 \times \sqrt {4} \times \sqrt {x}$

$= 5 \times 2 \times \sqrt {x}$

$= 10 \sqrt {x}$

$g(x) = 3 \sqrt {-81x}$

$= 3 \times \sqrt {81} \times \sqrt {-x}$

$= 3 \times 9 \times \sqrt {-x}$

$= 27 \sqrt {-x}$

Pour déterminer la règle d'une fonction racine carrée dont la règle est de forme

$f(x) = a\sqrt {\pm x}$ , il faut :

1 - Déduire la forme de la règle, soit

$f(x) = a\sqrt {x}$ , si l'ouverture est vers la droite.

ou $f(x) = a\sqrt {-x}$ , si l'ouverture est vers la gauche.

2 - Trouver les coordonnées d'un point de la courbe autre que le sommet;

3 - Remplacer les coordonnées de ce point dans la règle;

4 - Résoudre l'équation obtenue afin de trouver la valeur du paramètre a;

5 - Écrire la règle de la fonction obtenue.

Rôle du paramètre a dans la fonction f(x)=ax²

Rôle du paramètre a dans la fonction exponentielle f(x)=a(c)^x

Exercices de révision du chapitre 2

Chapitre 3

Résumé des notes de cours chap2

Résumé des notes de cours chap. 2

Droite y = ax + b

Chapitre 4

Résumé des notes de cours chap4

Vidéo de théorie et exercices-Triangles isométriques

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Vidéo de théorie et exercices-Triangles semblables

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Vidéo de théorie et exercices-Triangles rectangles (rapports trigonométriques)

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Vidéo de théorie et exercices-Relations métriques dans le triangle rectangle

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Vidéo de théorie et exercices-Loi des sinus

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Vidéo de théorie et exercices-Loi des cosinus

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Vidéo de théorie-Formule de Héron

Cette petite partie est optionnelle mais il est fortement suggéré de l'écouter. La formule de Héron est un outil très intéressant pour trouver l'aire d'un triangle à partir des mesures de ses trois côtés. Tu peux l'utiliser au besoin.

Vidéo de théorie et exercices-Les figures équivalentes

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Exercices de révision du chapitre 4

Chapitre 5

Résumé des notes de cours chapitre 5

Vidéo de théorie et exercices-Tableau à double entrée et nuage de points

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Vidéo de théorie et exercices-Coefficient de corrélation

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Intensité du coefficient de corrélation

nuage de points

Vidéo de théorie et exercices-La droite de régression

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Droite de régression

Vidéo de théorie et exercices-Écart moyen

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Écart type

L'écart type est une mesure qui caractérise la dispersion des données d'une distribution.
Pour trouver l'écart type d'une distribution, il faut:

1) Trouver la moyenne de la distribution.
2) Calculer le carré de l'écart des données à la moyenne.
3) Faire la somme des carrés des écarts à la moyenne.
4) Calculer le nombre total de données de la distribution.
5) Remplacer ces valeurs dans la formule suivantes:

$début de style de taille 18px é c a r t espace t y p e égal à espace début de racine carrée de numérateur de la fraction s o m m e espace d e s espace c a r r é s espace d e s espace é c a r t s espace à espace l a espace m o y e n n e au-dessus du dénominateur n o m b r e espace t o t a l espace d e espace d o n n é e s fin de la fraction fin de racine fin de style$

Selon la situation :

- un écart type considéré comme petit signifie que les données sont concentrées de chaque côté de la moyenne.
- un écart type considéré comme grand signifie que les données sont dispersées de chaque côté de la moyenne.

On peut facilement imaginer que le calcul de l'écart-type est fastidieux. C'est pourquoi, le plus souvent, on l'effectue à l'aide de la calculatrice ou un moyen technologique équivalent.

Exercices de révision du chapitre 5

Chapitre 6

Résumé des notes de cours Chapitre 6

Vidéo de théorie et exercices -Types de probabilités

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Probabilité conditionnelle

Probabilité conditionnelle

La probabilité qu'un événement se réalise sachant qu'un autre événement se réalise ou étant donné qu'un autre événement s'est déjà réalisé se nomme probabilité conditionnelle.

Probabilité de B étant donné A =

$P ouvrir la parenthèse B barre verticale A fermer la parenthèse égal à espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace espace numérateur de la fraction P ouvrir la parenthèse A intersection B fermer la parenthèse au-dessus du dénominateur P ouvrir la parenthèse A fermer la parenthèse fin de la fraction égal à espace o ù espace P ouvrir la parenthèse A fermer la parenthèse pas égal à 0$

Cette probabilité correspond à la probabilité de l'intersection de l'événement A et B sur la probabilité de l'événement A.

On peut noter cette probabilité par $P ouvrir la parenthèse B barre verticale A fermer la parenthèse espace espace o u espace espace P indice A ouvrir la parenthèse B fermer la parenthèse$ .

Vidéo de théorie et exercices-Espérance mathématique

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Exercices de révision du chapitre 6

Révision finale

Document de révision

Document de révision finale

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La fonction logarithmique

Équivalences

Première équivalence

Exemples

Deuxième équivalence

Exemples

Les radicaux

Propriétés des radicaux

Propriétés

Théorie

La fonction racine carrée

Recherche de la règle d'une fonction racine carrée

Exemples