Document de révision
Document de révision finale
Une fonction f est représentée dans le plan cartésien ci-dessous.
Laquelle des affirmations suivantes est vraie?
A) Le zéro et l'ordonnée à l'origine de la fonction f sont positifs.
B) Le zéro et l'ordonnée à l'origine de la fonction f sont négatifs.
C) Le zéro de la fonction f est négatif et l'ordonnée à l'origine de la fonction f est positive.
D) Le zéro de la fonction f est positif et l'ordonnée à l'origine de la fonction f est négative.
La réponse est D.
La fonction f(x) illustrée ci-dessous est une fonction polynomiale du 2e degré de la forme f(x)=ax².
Sachant qu'elle passe par l'origine du plan et par le point R(4, 20), que vaut f(-8) ?
f(x) = ax² passe par le point R(4, 20), ce qui permet de trouver la valeur du paramètre a.
20 = a(4)²
20 = 16a
1,25 = a
La règle est f(x) = 1,25x²
f(-8) = 1,25 (-8)²
f(-8) = 1,25 (64) Attention, (-8)²= (8)², donc 64
f(-8) = 80
L'équation d'une droite d1 est y = ex + s.
Si e>1 et s≠0, laquelle des équations suivantes représente une droite parallèle à la droite d1?
A) y = (-1/e)x - s C) y = (1/e)x + s
B) y = -ex + s D) y = ex - s
La réponse est D.
Voici quelques caractéristiques d'une fonction polynomiale f :
- dans le plan cartésien, cette fonction est représentée par une droite
- f(-5) = 67
- f(2) = -10
Quelle est la règle de cette fonction f ?
Comme la fonction est une droite, c'est une fonction polynomiale de degré 1.
L'équation sera de la forme y = ax + b.
Deux points sont données: (-5, 67) et (2, -10).
Pente= -10 - 67 donc, a = -11
2 -(-5)
y = -11 x + b On remplace par un point pour trouver b
67 = -11(-5) + b
67 = 55 + b
12 = b
Réponse: la règle est f(x)= -11x + 12
Dans l'expression algébrique ci-dessous, les dénominateurs sont différents de zéro.
\(\frac{x}{x+9}+\frac{3x+27}{x^2+18x +81}\)
Laquelle des expressions suivantes est équivalente à cette expression algébrique?
A) \(\frac{1}{3}\) C) \(\frac{x+3}{x+9}\)
B) \(x+3\) D) \(\frac{x+3}{(x+9)^2}\)
La réponse est C.
Le segment de droite MN illustré ci-dessous est divisé en 12 segments isométriques.
Parmi les points suivants, lequel partage le segment MN dans le rapport 1:3 à partir du point M?
A) Le point A C) Le point C
B) Le point B D) Le point D
La réponse est A)
Le graphique suivant illustre une fonction périodique.
Lequel des choix suivants correspond à la valeur de f(-20)?
A) 6 C) 2
B) 3 D) -2
La bonne réponse est B).
Dans le parallélogramme ABCD illustré ci-dessous, on a tracé la diagonale BD.
Prouve que les triangles ABD et CDB sont isométriques.
\(1. m\overline{AB}=m\overline{DC}\)
Parce que les côtés opposés d'un parallélogramme sont isométriques.
\(2. m\;\angle\;DAB=m\;\angle\;BCD\)
Parce que les angles opposés d'un parallélogramme sont isométriques.
\(3. m\;\angle\;ABD=m\;\angle\;CDB\)
Parce que ce sont des angles alternes-internes formés par deux segments parallèles coupés par une sécante. (Un parallélogramme possède deux paires de côtés parallèles)
4. ΔABD
ΔCDB
Par le cas de d'isométrie de triangles ACA.
Un jeu consiste à tirer successivement, au hasard, 2 billes d'un sac qui contient 3 billes noires et 2 billes rouges. La première bille tirée n'est pas remise dans le sac. Voici les issues possibles à ce jeu:
Si les deux billes tirées sont noires, on vous remet 7$ ainsi que votre mise.
Si les deux billes tirées sont rouges, on vous remet 15$ ainsi que votre mise.
Si les deux billes tirées sont de couleurs différentes, vous perdez votre mise.
Ce jeu est équitable.
Quelle est la valeur de la mise?
1. Probabilités associées à chaque issue
Probabilité de tirer 2 billes noires: (3/5) x (2/4)= 6/20
Probabilité de tirer 2 billes de couleurs différentes: (3/5) x (2/4) + (2/5)x(3/4)=12/20
Probabilité de tirer 2 billes rouges: (2/5) x (1/4)= 2/20
2. Valeur de la mise (x)
Dans l'illustration ci-dessous, les quadrilatères ABCD et FBGH sont des rectangles.
De plus, la mesure du segment AF est de 6 unités et la mesure du segment GC est de 6 unités.
Le polynôme 12x² + 28x - 5 représente l'aire du rectangle ABCD.
Quel polynôme représente l'aire du rectangle FBGH?
1. Mesures des côtés du rectangle ABCD
Comme l'aire est donnée par 12x² + 28x - 5, il faut factoriser ce polynôme pour trouver les mesures des côtés du rectangle.
Par la méthode produit et somme, on cherche un produit de -60 et une somme de +28. Les deux nombres sont 30 et -2.
12x² + 28x - 5= 12x² + 30x - 2x - 5
= 6x(2x + 5) -1(2x + 5)
= (2x + 5)(6x - 1)
Le rectangle ABCD mesure (2x + 5) unités par (6x - 1) unités.
2. Mesures des côtés du rectangle FBGH
2x + 5 - 6 = 2x - 1
6x - 1 - 6 = 6x - 7
Le rectangle FBGH mesure (2x - 1) unités par (6x - 7) unités.
3. Aire du rectangle FBGH
Aire = b x h
Aire = (2x - 1)(6x - 7)
Aire = 12x² - 20x + 7
Réponse: Le polynôme 12x² - 20x + 7 représente l'aire du rectangle FBGH.
Pour financer leurs activités de graduation, les finissants d'une école achètent des chandails d'un fournisseur et les revendent en réalisant un profit. Le tableau suivant présente le profit réalisé à la suite de la vente de différentes quantités de chandails à manches courtes et de chandails à manches longues.
|
Nb chandails manches courtes |
Nb chandails manches longues |
Profit |
| 450 | 300 | 2700$ |
| 300 | 250 | 1950$ |
Quel profit sera réalisé si les élèves achètent et revendent 250 chandails à manches courtes et 200 chandails à manches longues?
1. Il faut représenter la situation à l'aide d'un système d'équations
x : profit réalisé pour chaque chandail à manches courtes
y : profit réalisé pour chaque chandail à manches longues
450x + 300y = 2700
300x + 250y = 1950
2. Il faut résoudre le système (méthode au choix)
Avec la méthode de réduction:
2 x (450x + 300y = 2700)
3 x (300x + 250y = 1950)
900x + 600y = 5400
- 900x + 750y = 5850
- 150y = -450
y = 3
Si y = 3 alors 300x + 250(3)= 1950 donc x = 4
3. Profit pour 250 chandails à manches courtes et 200 chandails à manches longues
250 x 4$ + 200 x 3$ = 1600$
Répondre: 1600$
Le nuage de points ci-dessous illustre la corrélation qui existe entre la taille et la masse de vingt bébés.
Dans quel intervalle se situe le coefficient de corrélation?
A) Entre 0 et 0,25 C) Entre 0,25 et 0,50
B) Entre 0,50 et 0,75 D) Entre 0,75 et 1
La réponse est D.
Dans la table de valeurs ci-dessous, on présente le nombre d'heures d'étude de dix élèves avant de se présenter à un examen de mathématique.
| Élève | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|
Nb d'heures d'étude(x) |
6 | 8 | 3 | 13 | 4 | 10 | 12 | 7 | 9 | 5 |
|
Résultat à l'examen(y) |
45 | 65 | 43 | 89 | 50 | 80 | 91 | 58 | 78 | 38 |
Après l'analyse de ces données, quatre élèves ont fait les affirmations suivantes:
1) La corrélation linéaire entre ces variables est moyenne.
2) Le taux de variation de la droite de régression est de 5,61 , donc on peut estimer à environ 11% le résultat d'un élève qui étudie 2 heures pour se préparer à l'examen.
3) En tenant compte de ces données, on ne peut pas estimer le résultat d'un élève qui étudie 18 heures.
4) Il est impossible de réussir l'examen avec moins de sept heures d'étude.
Laquelle de ces affirmations est vraie?
La réponse est : l'affirmation 3.
Considérons la fonction f représentée dans le plan cartésien ci-dessous.
Le graphique est gradué par bonds de 1 unité.
Laquelle des affirmations suivantes est vraie?
A) f(5) = 0
B) dom f = [-5, 5]
C) Le maximum de la fonction f est 4.
D) La fonction f est positive sur l'intervalle [0, 6].
La réponse est B.
Joannie est une joueuse de l'équipe de basketball de l'école. Elle réussit 70% des lancers francs qu'elle effectue. Désirant profiter du talent de cette dernière afin d'amasser de l'argent pour l'activité tenue par le comité de bienfaisance de l'école la semaine prochaine, les organisateurs ont préparé un kiosque pour Joannie.
Au kiosque de Joannie, les règles de jeu seront les suivantes:
- Joannie effectuera deux lancers francs consécutifs pour les contributeurs.
- Si Joannie réussit les deux lancers francs, le contributeur qui participe au jeu versera 5$ aux organisateurs de l'événement.
- Si Joannie manque ses deux lancers francs, les organisateurs de l'événement remettront 20$ au contributeur.
- Si Joannie réussit l'un de ses deux lancers francs, aucun échange d'argent ne sera effectué.
- Le profit réalisé sera remis au comité de bienfaisance.
Est-ce que les organisateurs peuvent espérer faire un profit avec le kiosque de Joannie?
1. Probabilités des lancers
Deux lancers réussis: 0,70 x 0,70 = 0,49
Deux lancers ratés: 0,30 x 0,30 = 0,09
Premier lancer réussi et 2e raté:0,70 x 0,30 = 0,21
Premier lancer raté et 2e réussi: 0,30 x 0,70 = 0,21
Total pour un lancer réussi et un lancer raté: 0,42
2. Tableau d'espérance mathématique
Comme l'espérance est positive pour les organisateurs, ils peuvent espérer faire un profit.
| Laquelle des quatre paires de triangles illustrées ci-dessous est formée de deux triangles qui sont nécessairement isométriques? | |
 A |
|
 B |
 D |
La réponse est D.
|
Dans la figure ci-contre, les segments de droite AF, HD et GC sont sécants en P, le segment AF est parallèle au segment BE, la mesure de l'angle HPG est 70o et celle de l'angle PRE est 115o. Quelle est la mesure de l'angle PQR? |
 |
La réponse est : 45o
Une agence de voyage organise des voyages pour l'Europe. Le coût de l'hôtel et du billet d'avion pour l'Italie et pour l'Espagne est déterminé par les équations suivantes, où C représente le coût total du voyage et x, le nombre de nuits passées à l'hôtel.
Italie: C= 85x + 800
Espagne: C= 70x + 950
Lequel des énoncés suivants est vrai?
A) Si le voyage dure plus de 10 jours, l'Espagne est moins coûteux.
B) Si le voyage dure plus de 10 jours, l'Italie est moins coûteux.
C) Le coût des deux voyages ne sera jamais le même.
D) Le coût des deux voyages sera toujours le même.
La réponse est A)
Si x ≠ 4, quel binôme représente la forme réduite de l'expression suivante?
\(\frac{(x-1)^2-9}{x-4}\)
\(\frac{(x-1)^2-9}{x-4}=\)
\(\frac{[(x-1)+3][(x-1)-3]}{x-4}=\)
\(\frac{(x+2)(x-4)}{x-4}= x+2\)
La règle d'une fonction f est f(x)= 2x -70.
Quel est le zéro de cette fonction?
0 = 2x -70
70 = 2x
35 = x
Réponse: le zéro est x = 35.
Dans le plan cartésien, une droite d passe par le point P(5, 8). La droite d n'a pas d'ordonnée à l'origine. Quelle est l'équation de la droite d?
A) x = 5 C) y = 5
B) x = 8 D) y = 8
La réponse est A.
Pour financer des activités sportives, les élèves d'une école ont vendu des chandails et des épinglettes. Les profits sont de 4,50$ par chandail vendu et de 1,50$ par épinglette vendue.
Les élèves ont vendu 4 fois plus de chandails que d'épinglettes. Au total, les profits ont été de 4095$.
Soit x: le nombre de chandails vendus
y: le nombre d'épinglettes vendues
Quel système d'équations représente cette situation?
A) 4,5x + 1,5y = 4095 C) 1,5x + 4,5y = 4095
x = 4y x = 4y
B) 4,5x + 1,5y = 4095 D) 1,5x + 4,5y = 4095
4x = y 4x = y
La réponse est A.
Dans le plan cartésien ci-dessous, un cinéma, un restaurant et un musée sont représentés respectivement par les points C, R et M. La rue Casgrain est linéaire. Ce plan est gradué en mètres.
On veut aménager, au coût de 175$ par mètre, une ruelle perpendiculaire à la rue Casgrain. Cette ruelle reliera le musée et la rue Casgrain.
Quel est, au dollar près, le coût de l'aménagement de cette ruelle?
1. Équation de la droite de la rue Casgrain
Pente: 220-100 = 2
200-140
y = 2x + b Remplacer x et y par le point (140, 100) pour trouver b.
100 = 2(140) + b
- 180 = b
L'équation est y = 2x - 180
2. Équation de la droite de la Ruelle
Pente = - ½ car la Ruelle est perpendiculaire à la rue Casgrain.
y = -½ x + b Remplacer x et y par le point (170, 50) pour trouver b
50 = -½ (170) + b
135 = b
L'équation est y = -½x + 135
3. Point de rencontre entre la Ruelle et la rue Casgrain
Résoudre le système formé de y = 2x - 180 et y = -½x + 135.
2x - 180=-½x + 135
2,5 x = 315
x = 126 et y = 72
Le point de rencontre est (126,72).
4. Longueur de la Ruelle
Distance entre le point (126, 72) et le point (170, 50).
d =√((50 - 72)² + (170 - 126)²)
d = √(484+1936)
d = 49,19 m
5. Coût de l'aménagement
Coût = 175 x 49,19
Coût = 8608,86
Réponse: 8609$
Le triangle BCD représenté dans le plan cartésien ci-dessous est rectangle en C.
Le point D est situé sur l'axe des ordonnées.
Quelle est, au centième près, la mesure de l'hypoténuse BD?
1. Pente du segment BC
a = 13 - 5 donc a = -2
2 - 6
2. Équation associée au segment DC
La pente sera inverse et opposée car les deux segments sont perpendiculaires, elle sera de ½.
y = ½ x + b On remplace x et y par les valeurs du pt C(6, 5) pour trouver b.
5 = ½(6) + b
2 = b
y = ½ x + 2
3. Coordonnées du point D
Comme D est l'ordonnée à l'origine, ses coordonnées sont D(0, 2)
4. Mesure de l'hypoténuse BD
Distance à calculer avec les points D(0, 2) et B(2, 13).
d(B,D)=√((2 - 0)² + (13 - 2)²)
d(B, D)=√125
Réponse: La mesure de l'hypoténuse BD est de 11,18 unités.
Le rectangle PQRS ci-dessous représente le dessus d'une table de billard. Les segments de droite BC et CS représentent la trajectoire suivie par une des boules de billard après qu'on lui ait donné de l'effet en jouant.
Quelle est, au dixième de mètre près, la distance parcourue par la boule?
1. Mesure du segment BC
\(sin36^\circ=\frac{m\overline{QC}}{m\overline{BC}}\)
\(sin36^\circ=\frac{0,69}{m\overline{BC}}\)
\(m\overline{BC}\approx 1,174\)
2. Mesure du segment BQ
\(tan36^\circ=\frac{m\overline{QC}}{m\overline{BQ}}\)
\(tan36^\circ=\frac{0,69}{m\overline{BQ}}\)
\(m\overline{BQ}\approx 0,95\)
3. Mesure du segment CS
\(m\overline{SR}=m\overline{PQ}\approx 0,55+0,95=1,5\) car PQRS est un rectangle.
\(sin33^\circ=\frac{m\overline{SR}}{m\overline{CS}}\)
\(sin33^\circ=\frac{1,5}{m\overline{CS}}\)
\(m\overline{CS}\approx 2,754\)
4. Distance parcourue par la boule
\(m\overline{BC}+m\overline{CS}=1,174+2,754\)
La distance est de 3,9 mètres.
Voici trois fonctions:
f1: y = -(4/3)x + 20
f2: 4x + 3y - 10 = 0
f3: 8x - 6y + 15 = 0
Lequel des énoncés suivants est vrai?
A) Deux de ces droites sont parallèles et la troisième est perpendiculaire aux deux premières.
B) Deux de ces droites sont perpendiculaires et aucune n'est parallèle à une autre.
C) Deux de ces droites sont parallèles et aucune n'est perpendiculaire à une autre.
D) Les droites ne sont ni parrallèles ni perpendiculaires entre elles.
La réponse est C)
Une boutique de cosmétiques offre des Beauté Dollars à ses clients à l'achats de ses produits.
Pour chaque tranche de 30$ d'achats, 2 Beauté Dollars sont remis à l'acheteur.
Guylaine obtient 6 Beauté Dollars pour l'achat d'un parfum.
Katy obtient 8 Beauté Dollars pour une crème, et un rouge à lèvres de 12$.
Le parfum et la crème sont de même valeur.
Quelles sont les valeurs possibles du parfum de Guylaine?
1. Comme le parfum donne 6 Beauté Dollars, c'est que le prix du parfum est situé dans l'intervalle [90, 120[ .
2. Comme la crème et le rouge à lèvres donnent 8 Beauté Dollars, c'est que le coût de ces deux items est situé dans l'Intervalle [120, 150[.
3. Le rouge à lèvres coûte à lui seul 12$, alors le coût de la crème est situé dans l'intervalle [108, 138[ (12$ en moins)
4. Le prix de la crème et du parfum étant le même, il faut croiser les intervalles [90, 120[ et [108, 138[ . Alors le prix le plus bas sera 108 et le plus élevé, 120, pour être dans les deux intervalles à la fois.
Réponse finale: le prix du parfum se situe dans l'intervalle [108, 120[ .
Lucien décide de s'offrir une automobile neuve au coût de 23 000$. Malheureusement, son investissement perd de la valeur au fil des ans, selon un modèle exponentiel du type f(x)= acx.
Après 3 ans, la valeur de son automobile est estimée à 16 767$.
Après combien d'années la valeur de son automobile sera-t-elle inférieure à la moitié de sa valeur de départ?
1. Règle de la fonction f(x) = acx.
f(x)= acx
f(x) = 23000cx car a est la valeur de départ (point (0, 23 000))
On remplace ensuite x et y par le couple (3, 16 767) pour trouver la valeur de la base c.
16 767 = 23000c3
0,729 = c3
0,9 = c (après avoir fait la racine cubique)
Donc, f(x) = 23000(0,9)x
2. Chercher quand l'auto vaudra moins de 11 500$
Ce sera sûrement après 3 ans alors on démarre la table de valeurs à x = 4.
| x | y |
| 4 | 15090,30 |
| 5 | 13581,27 |
| 6 | 12223,14 |
| 7 | 11000,83 |
L'auto vaudra moins de 11 500$ après 7 ans.
Les rectangles ABHG, BCDE et HEFG illustrés ci-dessous sont semblables.
De plus,
\(\overline{AG}=3cm\)
\(\overline{GF}=12cm\)
\(\overline{BE}<\overline{BC}\)
Quelle est l'aire du rectangle BCDE?
Dans les figures semblables, les mesures des segments homologues sont proportionnelles.
1. Mesure du segment GH
\(\frac{m\overline{GH}}{m\overline{AG}}=\frac{m\overline{GF}}{m\overline{GH}}\)
\(\frac{m\overline{GH}}{3}=\frac{12}{m\overline{GH}}\)
\((m\overline{GH})^2=36\)
\(m\overline{GH}=6 cm\)
2. Mesure du segment BC
\(\frac{m\overline{BC}}{m\overline{GH}}=\frac{m\overline{BE}}{m\overline{AG}}\)
\(\frac{m\overline{BC}}{6}=\frac{15}{3}\)
\(m\overline{BC</span></span></span>}= 30 cm\)
3. Aire du rectangle BCDE
\(m\overline{BC}\cdot m\overline{BE}\)
30 x 15 = 450 cm²
Réponse: L'aire du rectangle BCDE est de 450 cm².
Des spécialistes ont analysé la relation entre l'indice de santé d'un individu et son rythme cardiaque enregistré lors d'un exercice physique moyennement intensif. Les données recueillies sont présentées ci-dessous.
|
Indice de santé |
Rythme Cardiaque |
| 38 | 70 |
| 39 | 71 |
| 42 | 72 |
| 44 | 77 |
| 47 | 80 |
| 50 | 85 |
| 52 | 90 |
| 53 | 95 |
| 64 | 110 |
| 69 | 120 |
| 70 | 123 |
| 72 | 126 |
| 73 | 135 |
| 75 | 136 |
Lors de cet exercice, le rythme cardiaque d'une personne est de 105.
D'après ces données, quel est, au dixième près, l'indice de santé approximatif de cette personne?
1. Équation de la droite de régression avec la méthode de Mayer
Les points moyenne sont P1(44,6 ; 77,9) et P2(68; 120,7).
Pente: 120,7 - 77,9 = 1,83
68 - 44,6
y = 1,83x + b
120,7 = 1,83(68) + b
-3,74 = b
L'équation est y = 1,83x - 3,74
2. Trouver l'indice de santé
y = 1,83x - 3,74
105 = 1,83x - 3,74
108,74 = 1,83 x
59,42 = x
Réponse: l'indice de santé serait de 59,4.