Vidéo de théorie et exercices-Espérance mathématique
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Une organisation de football met sur pied une loterie. Elle émet 1000 billets qu’elle vend 10 $ chacun. Il y a 3 prix de 1 500 $ et 2 prix de 500 $ à gagner.
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La probabilité de gagner 1 500 $ est de \(\frac {3}{1000}\). (gain net : 1 500 $ - 10 $ (mise) = 1 490 $)
La probabilité de gagner 500 $ est de \(\frac {2}{1000}\). (gain net : 500 $ - 10 $ (mise) = 490 $)
La probabilité de perdre 10 $ est de \(\frac {995}{1000}\). (perte : -10 $)
Esp. Math. = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) x (perte)
= \(\frac {3}{1000} \times 1490 + \frac {2}{1000} \times 490 + \frac {995}{1000} \times (-10)\)
=\(\frac {4470}{1000} + \frac {980}{1000} + \frac {-9950}{1000}\)
= \(\frac {5450}{1000} + \frac {-9950}{1000}\)
= \(\frac {-4500}{1000}\)
= \(-4,5\) L’espérance est négative. Le joueur va perdre en moyenne 4,50 $ à chaque billet qu'il achètera.
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Henry vend des cartes à gratter à 2 $ pour amasser des fonds pour une œuvre de charité. Les participants peuvent gagner différents prix en argent. La probabilité qu’un participant gagne un prix de 75 $ est de 1/150. La probabilité qu’un participant gagne un prix de 50 $ est de 2/150 et la probabilité qu’un participant gagne un prix de 25 $ est de 0,02. Henry se demande si l’espérance mathématique est en faveur de l’œuvre de charité. |
La probabilité de gagner 75 $ est de \(\frac {1}{150}\). (gain net : 75 $ - 2 $ (mise) = 73 $)
La probabilité de gagner 50 $ est de \(\frac {2}{150}\). (gain net : 50 $ - 2 $ (mise) = 48 $)
La probabilité de gagner 25 $ est de 0,02 = \(\frac {3}{150}\). (gain net : 25 $ - 2 $ (mise) = 23 $)
La probabilité de perdre 2 $ est de \(\frac {144}{150}\). (perte : -2 $)
Esp. Math. = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) x (perte) = \(\frac {1}{150} \times 73 + \frac {2}{150} \times 48 + \frac {3}{150} \times 23 + \frac {144}{150} \times( -2)\) = \(\frac {73}{150} + \frac {96}{150} + \frac {69}{150} + \frac {-288}{150}\) = \(\frac {238}{150} + \frac {-288}{150}\) = \(\frac {-50}{150}\) \(\approx -0,33\)
L’espérance est négative, donc défavorable pour le joueur.
Alors, Henry va faire en moyenne, un profit de 0,33 $ par carte vendue.
Donc, l’espérance mathématique est en faveur de l’œuvre de charité.
Paul et Denis sont deux golfeurs. Paul a une probabilité de \(\frac{5}{18}\) de gagner une partie de 18 trous.
Ils veulent parier de façon équitable en établissant l’espérance de gain à 0.
Si la mise de Paul est de 20 $, combien doit être la mise de Denis ?
La probabilité de gagner pour Paul est de \(\frac{5}{18}\). Alors, il gagnera la mise de \(x\) de Denis.
La probabilité de perdre pour Paul est de \(\frac {13}{18}\). Alors, il perdra sa mise de 20 $.
Puisque le jeu doit être équitable, l’espérance de gain est 0.
On utilise l'espérence mathématique du gain de Paul pour trouver la valeur \(x\):
**Esp. Math. = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) x (perte)**
\(0 = \frac {5}{18} \times x + \frac {13}{18} \times( -20)\)
\(0 = \frac {5x}{18} + \frac {-260}{18}\)
\(\frac {260}{18} = \frac {5x}{18}\)
\(260 = 5x\) en multipliant les termes par 18 (élimine le dénominateur)
\(52 = x\)
Denis doit miser 52 $ pour que le jeu soit équitable.
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Dans un sac, il y a 18 billes de la même grosseur : 7 billes bleues, 9 billes noires et 2 billes rouges. On te propose le jeu suivant : tu mises en certain montant et tu piges une bille dans le sac. Si la bille est rouge, tu gagnes 5 $. Si la bille est noire, tu gagnes 2 $. Si la bille est bleue, tu perds ta mise. Quel doit être le montant misé pour que le jeu soit « équitable » lorsque tu piges une bille? |
Si 
$ est la mise du jeu;
La probabilité de gagner 5 $ est de \(\frac {2}{18}\). (gain net : 5 $ - \(x\))
La probabilité de gagner 2 $ est de \(\frac {9}{18}\). (gain net : 2 $ - \(x\))
La probabilité de perdre la mise de $ est de \(\frac {7}{18}\).
**Esp. Math. = (probabilité de gagner) x (gain net) + (probabilité de perdre) x (perte)**
\(0 = \frac {2}{18} \times( 5 -x)+ \frac {9}{18} \times( 2-x) + \frac {7}{18} \times (-x)\)
\(0 = \frac {10}{18} +\frac {-2x}{18}+ \frac {18}{18}+ \frac {-9x}{18}+ \frac {-7x}{18}\)
\(0 = \frac {28}{18} + \frac {-18x}{18}\)
\(\frac {18x}{18} = \frac {28}{18}\)
\(18x = 28\) en multipliant les termes par 18 (élimine le dénominateur)
\(x = 1,56\)
Le montant de la mise pour que le jeu soit équitable est de 1,56 $.
Théorie + exemple 1
Exemples 2, 3 et 4