Changement de base

Loi sur le changement de base :

$début de style de taille 26px log indice a espace c égal à numérateur de la fraction log indice 10 espace fin d'indice c au-dessus du dénominateur log indice 10 espace fin d'indice a fin de la fraction fin de style$

Cette loi nous permet, par exemple, de calculer la valeur d'une variable dans une équation exponentielle qui n'utilise pas la base 10.

Exemple : Calcule la valeur de x dans $5 puissance x égal à 202$ .

On sait que $début de style de taille 20px 5 puissance x égal à 202 espace fin de style$ correspond à $début de style de taille 20px log indice 5 202 égal à x fin de style$ .

Grâce à la l'égalité suivante :

$taille 26px m taille 26px espace taille 26px égal à taille 26px espace taille 26px parenthèse gauche taille 26px b taille 26px a taille 26px s taille 26px e taille 26px parenthèse droite puissance taille 26px n taille 26px double flèche bilatérale taille 26px n taille 26px espace taille 26px égal à taille 26px log indice taille 26px parenthèse gauche taille 26px b taille 26px a taille 26px s taille 26px e taille 26px parenthèse droite fin d'indice taille 26px m$

Cependant, sur les calculatrices conventionnelles, on ne peut évaluer

$début de style de taille 20px log indice 5 202 fin de style$

et c'est à ce moment que l'on utilise la formule de changement de base :

$début de style de taille 24px log indice a espace c égal à numérateur de la fraction log indice 10 espace c au-dessus du dénominateur log indice 10 espace fin d'indice a fin de la fraction fin de style$

d'où

$début de style de taille 20px x égal à log indice 5 202 fin de style$

devient

$début de style de taille 20px x égal à numérateur de la fraction log indice 10 202 au-dessus du dénominateur log indice 10 5 fin de la fraction égal à 3 virgule 2982... fin de style$

Ainsi, 3,2982 est la valeur que l'on doit affecter comme exposant à 5 pour obtenir 202 comme puissance.

$début de style de taille 20px 5 puissance 3 virgule 2982 fin de l'exposant égal à 201 virgule 996046 fin de style$

P.S. On n'obtient pas précisément 202 car on a oublié volontairement les chiffres après les dix-millièmes dans 3,298212162....

Fais les exercices ci-dessous.

Calcule la valeur de la variable x.

$2 puissance x égal à 128$

$2 puissance x égal à espace 128 x égal à log indice 2 128 x égal à numérateur de la fraction log espace 128 au-dessus du dénominateur log espace 2 fin de la fraction x égal à numérateur de la fraction 2 virgule 1072... au-dessus du dénominateur 0 virgule 3010... fin de la fraction x égal à 7$

effectivement

$2 puissance 7 égal à 128$

Calcule la valeur de la variable x.

$5 puissance 2 x fin de l'exposant égal à 100$

$5 puissance 2 x fin de l'exposant égal à espace 100 2 x égal à log indice 5 100 2 x égal à numérateur de la fraction log espace 100 au-dessus du dénominateur log espace 5 fin de la fraction 2 x égal à numérateur de la fraction 2 au-dessus du dénominateur 0 virgule 69897... fin de la fraction 2 x égal à 2 virgule 8613... x égal à 1 virgule 4306...$

Calcule la valeur de la variable x.

$5 puissance 5 moins x fin de l'exposant fois 10 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000$

$5 puissance 5 moins x fin de l'exposant fois 10 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 5 puissance 5 moins x fin de l'exposant fois parenthèse gauche 2 fois 5 parenthèse droite puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 5 puissance 5 moins x fin de l'exposant fois 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant fois 5 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 5 puissance 5 moins x plus x moins 1 fin de l'exposant fois 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 5 puissance 4 fois 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 625 fois 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 40000 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 64 2 puissance x moins 1 fin de l'exposant égal à 2 puissance 6 x moins 1 égal à 6 x égal à 7$

La connexion a été perdu.

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