Fonction racine carrée

Les radicaux

Par convention, on écrit $\sqrt x$ ou $\sqrt[2] {x}$ pour exprimer la racine carrée de x.

La racine carrée est un exposant fractionnaire de ½ .

En effet, $\sqrt 4 = 4^{\frac {1}{2}}= \sqrt[2] {4}$ $= \sqrt[2] {2^2} = 2$ .

De la même façon :

$\sqrt 3 = \sqrt[2] {3} = 3^{\frac {1}{2}}$

Ou encore :

$\sqrt {xy} = \sqrt[2] {xy} = (xy)^{\frac {1}{2}}$

Propriétés des radicaux


Propriétés	Restrictions	Exemples
$\sqrt[n] {a^m} = a^{\frac {m}{n}}$ ,	Pour $a > 0$	$\sqrt[8] {25^4} = 25^{\frac {4}{8}} = 25^{\frac {1}{2}} = 5$
$\sqrt a \times \sqrt b = \sqrt {ab}$	Pour $a \ge 0$ et $b \ge 0$	$\sqrt 3 \times \sqrt 5 = \sqrt {3 \times 5} = \sqrt {15}$
$\frac {\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt {\frac {a}{b}}$	Pour $a \ge 0$ et $b > 0$	$\frac {\sqrt 10}{\sqrt 2} = \sqrt {\frac {10}{2}} = \sqrt 5$

Théorie

$Theorie$

$handout$

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée de base s'exprime à l'aide de la règle : $f(x)=\sqrt {x}$ .

La représentation graphique est une courbe dont le sommet est à l'origine du plan cartésien.

En lui appliquant les paramètres multiplicatifs a et b, on obtient :

$f(x) = a\sqrt {bx}$ où a et b sont différents de zéro.

Voici le graphique de la fonction racine carrée transformée:

Utilise les curseurs a et b pour voir les modifications de la courbe.

Recherche de la règle d'une fonction racine carrée

Dans les préalables, tu as étudié les propriétés des radicaux. Ils nous permettent de transformer une règle de la forme

$f(x) = a\sqrt {bx}$

en une règle de la forme $f(x) = a\sqrt {\pm x}$

Exemples

$f(x) = 5 \sqrt {4x}$

$= 5 \times \sqrt {4} \times \sqrt {x}$

$= 5 \times 2 \times \sqrt {x}$

$= 10 \sqrt {x}$

$g(x) = 3 \sqrt {-81x}$

$= 3 \times \sqrt {81} \times \sqrt {-x}$

$= 3 \times 9 \times \sqrt {-x}$

$= 27 \sqrt {-x}$

Pour déterminer la règle d'une fonction racine carrée dont la règle est de forme

$f(x) = a\sqrt {\pm x}$ , il faut :

1 - Déduire la forme de la règle, soit

$f(x) = a\sqrt {x}$ , si l'ouverture est vers la droite.

ou $f(x) = a\sqrt {-x}$ , si l'ouverture est vers la gauche.

2 - Trouver les coordonnées d'un point de la courbe autre que le sommet;

3 - Remplacer les coordonnées de ce point dans la règle;

4 - Résoudre l'équation obtenue afin de trouver la valeur du paramètre a;

5 - Écrire la règle de la fonction obtenue.

Trace la fonction racine carrée suivante :

$f(x) = 3\sqrt {2x}$

Faire une table de valeurs :

x	-4	-2	0	2	4	8
y	---	---	0	6	8,49	12

Placer les points et tracer la courbe :

Détermine la règle de la fonction suivante :

1 - Déduire la forme de la règle, soit

$f(x) = a\sqrt {x}$ ou $f(x) = a\sqrt {-x}$ , à partir de l'orientation de la courbe;

Puisque la courbe est dans le 4e quadrant, la règle est de la forme $f(x) = a\sqrt {x}$ .

2 - Trouver les coordonnées d'un point de la courbe autre que le sommet;

Le point (4, -4) fait parti de la courbe.

3 - Remplacer les coordonnées de ce point dans la règle;

$f(x) = a\sqrt {x}$

$-4 = a\sqrt {4}$

4 - Résoudre l'équation obtenue afin de trouver la valeur du paramètre a;

$-4 = a\sqrt {4}$

$-4 = a \times 2$

$-2 = a$

5 - Écrire la règle de la fonction obtenue.

$f(x) = -2\sqrt {x}$

Détermine la règle de la fonction suivante :

1 - Déduire la forme de la règle, soit

$f(x) = a\sqrt {x}$ ou $f(x) = a\sqrt {-x}$ , à partir de l'orientation de la courbe;

Puisque la courbe est dans le 2e quadrant, la règle est de la forme

$f(x) = a\sqrt {-x}$ .

2 - Trouver les coordonnées d'un point de la courbe autre que le sommet;

Le point (-4, 10) fait parti de la courbe.

3 - Remplacer les coordonnées de ce point dans la règle;

$f(x) = a\sqrt {-x}$

$10 = a\sqrt {-(-4)}$

4 - Résoudre l'équation obtenue afin de trouver la valeur du paramètre a;

$10 = a\sqrt {4}$

$10 = a \times 2$

$5 = a$

5 - Écrire la règle de la fonction obtenue.

$f(x) = 5\sqrt {-x}$

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