Deux compagnies rivales A et B ont choisi de fabriquer le même produit selon deux procédés différents.

Les fonctions qui représentent le profit brut des compagnies sont définies par :

a parenthèse gauche t parenthèse droite égal à 1000 log indice 4 t   pour la compagnie A

b parenthèse gauche t parenthèse droite égal à 1000 log indice 5 t  pour la compagnie B

où t est le temps en mois.


Après le douzième mois, les dépenses de la compagnie A ont été de 800 $ et celles de la compagnie B, de 500 $.

Quelle compagnie a réalisé le plus grand profit net après le douzième mois d'opération?

(N.B. Profit net = profit brut - dépenses)

Profit brut de la compagnie A après le douzième mois d'opération

a parenthèse gauche t parenthèse droite égal à 1000 espace log indice 4 12 espace égal à espace 1000 espace numérateur de la fraction log espace 12 au-dessus du dénominateur log espace 4 fin de la fraction presque égal à 1000 espace croix de multiplication espace 1 virgule 792481 espace presque égal à 1792 virgule 48


Profit brut de la compagnie B après le douzième mois d'opération

b parenthèse gauche t parenthèse droite égal à 1000 espace log indice 5 12 espace égal à espace 1000 espace numérateur de la fraction log espace 12 au-dessus du dénominateur log espace 5 fin de la fraction presque égal à 1000 espace croix de multiplication espace 1 virgule 543959 espace presque égal à 1543 virgule 96


Profit net de la compagnie A après le douzième mois d'opération

1792,48 $ - 800,00 $ = 992,48 $


Profit net de la compagnie B après le douzième mois d'opération

1543,96 $ - 500,00 $ = 1043,96 $


La compagnie B a réalisé le plus grand profit net.

Représente graphiquement la fonction logarithmique suivante en utilisant une graduation appropriée.

f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace moins 3 espace log indice 5 espace 2 x

Tout d'abord, étant donné que la base est différente de 10, il faut transformer la règle pour l'inscrire dans la calculatrice. Auparavant, nous avons vu cette équivalence :

log indice c m égal à numérateur de la fraction log indice d m au-dessus du dénominateur log indice d c fin de la fraction


Maintenant, nous l'appliquerons à la règle de cette fonction :

 f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace moins 3 espace log indice 5 espace 2 x espace espace espace espace espace espace espace égal à espace moins 3 espace ouvrir la parenthèse numérateur de la fraction log espace 2 x au-dessus du dénominateur log espace 5 fin de la fraction fermer la parenthèse



Faire une table de valeurs :

x

0

2

4

6

8

10

y

---

-2,58

-3,88

-4,63

-5,17

-5,58



Placer les points et tracer la courbe :

Détermine la règle de la fonction suivante de la forme f parenthèse gauche x parenthèse droite espace égal à espace moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice b x.

 

1- Déduire certains renseignements de la situation, si possible (paramètre b);

Dans la définition de la fonction logarithmique, nous savons que la courbe passe par le point

ouvrir la parenthèse 1 sur b virgule 0 fermer la parenthèse.
Puisque la courbe passe par le point (-5, 0), 

moins 5 espace égal à espace 1 sur b

et, par réduction, nous obtenons que b = -0,2.

Ainsi, la règle est :

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche moins 0 virgule 2 parenthèse droite x

2- Remplacer les coordonnées x et y de la fonction par les coordonnées d'un point (x, y) de la fonction (non situé sur l'axe des abscisses).

La courbe passe par le point (-10, 2).

Ainsi :

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche moins 0 virgule 2 x parenthèse droite

2 égal à moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche moins 0 virgule 2 ouvrir la parenthèse moins 10 fermer la parenthèse parenthèse droite 2 égal à moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche 2 parenthèse droite

3- Résoudre l'équation formée à l'aide des règles de transformation des équations pour obtenir une équation de la forme m égal à log indice b a s e fin d'indice n.

2 égal à moins 2 espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche 2 parenthèse droite moins 1 égal à espace log indice b a s e fin d'indice parenthèse gauche 2 parenthèse droite

 

4- Écrire la règle de la fonction obtenue sous la forme exponentielle et déterminer la valeur recherchée;

 moins 1 égal à log indice b a s e fin d'indice 2 double flèche bilatérale b a s e puissance moins 1 fin de l'exposant égal à 2 numérateur de la fraction 1 au-dessus du dénominateur b a s e fin de la fraction égal à 2

 

Donc, la base = 0,5.

5- Écrire la règle de la fonction sous la forme logarithmique.

f parenthèse gauche x parenthèse droite égal à moins 2 espace log indice 0 virgule 5 fin d'indice parenthèse gauche moins 0 virgule 2 x parenthèse droite