Vidéo de théorie et exercices-Les logarithmes

Traduis les expressions suivantes sous la forme logarithmique.

a) 3⁴=81

b) 8²=64

c) 27^(2/3)=9

d) ½ = 32^(-1/5)

e) 4⁰=1

f) 256=¼^(-4)

g) 10000=10⁴

h) y = 5^x

i) e^-3 = 0,05

a) log₃81=4

b) log₈64=2

c) log₂₇9=2/3

d) log₃₂(½)=(-1/5)

e) log₄1=0

f) log_¼256=-4

g) log10000=4

h) x = log₅y

i) ln 0,05=-3

Traduis les expressions suivantes sous la forme exponentielle.

a) $\log_5 125 = 3$

b) $\log_3 81 = 4$

c) $\log 10 = 1$

d) $\log_{81} 3 = \frac {1}{4}$

e) $\log_2 \frac {1}{4} = -2$

f) $\log_3 3^4 = 4$

a) $5^3 = 125$

b) $3^4 = 81$

c) $10^1 = 10$, lorsque la base n'est pas mentionnée, elle est de 10.

d) $81^{\frac {1}{4}} = 3$

e) $2^{-2} = \frac {1}{4}$

f) $3^4 = 3^4$

Calcule chacun des logarithmes suivants à 4 chiffres significatifs.

a) $\log_5 32$

b) $\log_2 27$

c) $\log_3 \frac {1}{4}$

d) $\log (e)$

e) $ln~e$

f) $\log_{\frac {1}{3}} \frac {1}{4}$

a) $2,1534$

b) $4,7549$

c) $-1,2619$

d) $0,4343$

e) $1$

f) $1,2619$

Détermine la valeur de x dans chaque cas.

a) $\log_2 x = 3$

b) $\log_x 25 = 2$

c) $2 = \log x$

d) $\log_3 27 = x$

e) $ln~x = 0$

f) $ln~e^2 = x$

a) $x = 8$

b) $x = \pm 5$

c) $x = 100$

d) $x = 3$

e) $ln~x = 0 \Rightarrow \log_e x = 0$, donc $x = 1$

f) $x = 2$

Résous les équations suivantes.

a) $10^x = 17,5$

b) $e^x = 143 000$

c) $\log x = 2,013$

d) $25 = 5(2^x)$

e) $4 \cdot 5^x = 17$

f) $5^{2x - 3} = 7,08$

g) $\log_2 (8 - x) = 5$

a) $x = \log_{10} 17,5 \approx 1,243$

b) $x = \log_{e} 143000 = ln~143000 \approx 11,8706$

c) $x = 10^{2,013} \approx 103,0387$

d) $x = \log_2 5 \approx 2,3219$

e) $x = \log_5 4,25 \approx 0,899$

f) $x = \frac {\log_5 7,08 + 3}{2} \approx 2,1081$

g) $x = -24$

Steven s'est offert une automobile neuve au coût de 24500$.

Malheureusement, elle perd rapidement de sa valeur: 8% à chaque année.

Après combien d'années Steven devrait-il revendre son auto s'il souhaite récupérer un minimum de 10000$ lors de la revente?

a= valeur de départ, donc 24 500$

c= 100%-8%

c= 92% donc 0,92

Règle: V(x)=24500(0,92)^x

On cherche x pour V(x) = 10000

10000=24500(0,92)^x

0,408=(0,92)^x

x= log_0,920,408

x = log 0,408

log 0,92

x ≈ 10,7 ans

Donc, Steven devrait la revendre au maximum dans 10 ans car après 10,7 ans, l'auto vaut moins de 10000$.

Une éclosion d'un virus étrange est survenu dans ton école. Ce virus se propage rapidement.

Le nombre de personnes atteintes varie selon la règle N(x) = 7(1,45)^x.

a) Combien de personnes étaient atteintes au début des observations?

b) Combien de personnes seront malades après une semaine?

c) Si le modèle se maintient, dans combien de temps tous les élèves de ton école auront-ils contracté le virus sachant que vous êtes 650 élèves?

N(x) = 7(1,45)^x

a) 7 personnes

b) N(7)= 94,3 donc, 94 personnes

c) 650 = 7(1,45)^x

92,86=(1,45)^x

x = log_1,45(92,86)

x = log 92,86

log 1,45

x = 12,2 jours

Donc, après 13 jours complets car après 12 jours, ce serait 605 personnes

La population de la municipalité de Lac Diamant connait une hausse spectaculaire.

De 1500 habitants en 2012, elle est maintenant rendue, en 2017, à 2325 habitants.

Monsieur le maire se questionne: en quelle année sa petite municipalité atteindra-t-elle 5000 habitants?

Recherche de la règle

On a deux points :(0, 1500) si on considère 2012 comme étant le début de l'observation et (5,2325).

f(x) = a(c)^x

f(x) = 1500(c)^x

2325=1500(c)⁵

1,55=c⁵

c = 1,09

La règle est: f(x)=1500(1,09)^x

Dans combien d'années aura-t-on 5000 habitants?

f(x)=1500(1,09)^x

5000=1500(1,09)^x

3,33=1,09^x

x = log_1,093,33

x = log 3,33

log 1,09

x = 13,97, donc, dans 14 ans à partir de 2012, ce qui signifie en 2026.

Lors de ta naissance, ta grand-mère a déposé un montant de 3000$ dans un compte spécial pour tes études.

Tu pourras accéder à ce placement seulement lors de tes 18 ans.

Si on considère que le taux d'intérêt annuel est de 2,5%, à quel montant s'élèvera ce placement au moment où tu pourras y accéder?

Règle

f(x) = a (c)^x

a = placement initial, donc 3000

c = 100% + 2,5%

c = 102,5%, donc 1,025

f(x)= 3000(1,025)^x

Montant dans 18 ans

f(18) = 3000(1,025)¹⁸

f(18) = 4678,98$

Suite aux dernières négociations, la salaire annuel de Louisa en 2017 est de 54250$.

Une des clauses négociées prévoit une augmentation de 1,75% par année du salaire annuel.

Louisa a 48 ans en 2017 et elle prévoit prendre sa retraite à l'âge de 60 ans.

a) Quel sera le salaire annuel de Louisa au moment de prendre sa retraite?

On considère que le taux de 1,75% se maintiendra. Arrondir à l'unité.

b) La partie patronale souhaitait offrir seulement une augmentation de 1,25% du salaire au lieu de 1,75%. Si la partie patronale avait eu gain de cause, quelle différence cela aurait-il fait sur le salaire annuel de Louisa au moment de prendre sa retraite?

Règle

S(x) = 54250(1,0175)^x avec x = nombre d'années écoulées depuis 2017

a) Au moment de prendre sa retraite à 60 ans, on est à x = 12.

S(12)= 54250(1,0175)¹²

S(12)= 66 805,58

Salaire à la retraite: 66 806$

b) Si 1,25% au lieu de 1,75%, la règle devient S(x) = 54250(1,0125)^x

S(12)= 54250(1,0125)¹²

S(12) = 62 970,93, donc 62 971$

Différence de salaire annuel: 3835$

Introduction avec la fonction exponentielle

CST5_5A_Court%202_Rappel%20fct%20exp.mp4