Vidéo de théorie et exercices-Aire des triangles
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Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
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Pour trouver l’aire de ce triangle, il faut utiliser la formule trigonométrique.
Aire= a x b x sin C
2
Aire = 10 x 11 x sin 40
2
Donc, l’aire du triangle ABC est 35,4 cm², arrondie au dixième près.
a)Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
b) Détermine la mesure de l'angle B.
a)Comme les mesures des trois côtés du triangle sont connues, il faut utiliser la formule de Héron.
p= demi-périmètre
p= (13, 5 + 8,5 + 6)/2
p= 14 cm
Aire = √(14(14-13,5)(14-8,5)(14-6))
Aire = √(14(0,5)(5,5)(8)
Aire = √308
Aire = 17,6 cm²
b) Lorsqu'on a trouvé l'aire du triangle avec la formule de Héron, on peut ensuite trouver la mesure de n'importe quel angle du triangle avec l'autre formule d'aire, la formule trigonométrique.
Aire= c x a x sin B
2
17,6 = 13,5 x 6 x sin B
2
35,2 = 81 x sin B
0,43 = sin B
B = sin-1 (0,43)
m B = 25,5o
Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
Pour trouver l’aire de ce triangle, on doit d’abord utiliser la loi des sinus pour trouver la mesure du côté \(\overline {BC}\) manquant.
Ensuite, on utilisera la formule de Héron, car on connaîtra les mesures des trois côtés du triangle.
Tout d’abord, on recherche la mesure de l’angle B.
\(\frac {b}{\sin B} = \frac {c}{\sin C}\)
b (4 cm) représente le côté opposé à l’angle B et
c (7,5 cm) représente le côté opposé à l’angle C (100°).
\(\frac {4}{\sin B} = \frac {7,5}{\sin 100^\circ}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(4 \times \sin 100^\circ = \sin B \times 7,5\)
Car le produit des extrêmes égale le produit des moyens.
\(\frac {4 \times \sin 100^\circ}{7,5} = \sin B\) en divisant chaque membre de l’équation par 7,5.
\(\sin ^{-1} \left(\frac {4 \times \sin 100^\circ}{7,5}\right) = B\) en isolant l’angle B.
\(31,68^\circ \approx B\) n'oubliez pas les parenthèses !
Donc, la mesure de l’angle B est d’environ 31,7°.
Ainsi, la mesure de l’angle A est : 180° - 100° - 31,7° = 48,3°.
On recherche la mesure du côté \(\overline {BC}\)
\(\frac {a}{\sin A} = \frac {c}{\sin C}\)
a représente le côté opposé à l’angle A (48,3°) et
c (7,5 cm) représente le côté opposé à l’angle C (100°).
\(\frac {a}{\sin 48,3^\circ} = \frac {7,5}{\sin 100^\circ}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(a = \frac {7,5 \times \sin 48,3^\circ}{\sin 100^\circ}\) en divisant chaque membre de l’équation par sin 100° pour isoler a.
\(a \approx 5,7\) en arrondissant au dixième près.
On peut maintenant trouver l’aire du triangle, car on connaît la mesure des trois côtés :
\(m\overline {AB} = 7,5cm\)
\(m\overline {BC} = 5,7cm\)
et \(m\overline {AC} = 4cm\)
\(aire = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}\)
\(a = 7,5\)
\(b = 5,7\)
\(c = 4\)
\(p = \frac {7,5 + 5,7 + 4}{2}\)
\(p = 8,6cm\)
Maintenant, on remplace ces valeurs dans la formule :
\(aire = \sqrt{8,6 (8,6 - 7,5) (8,6 - 5,7) (8,6 - 4)}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(aire = \sqrt{8,6 (1,1) (2,9) (4,6)}\) par soustraction dans les parenthèses.
\(aire = \sqrt{8,6 \times 1,1 \times 2,9 \times 4,6}\) en appliquant la racine carrée à toute la multiplication.
\(aire = 11,23\)
**Donc, l’aire du triangle ABC est 11,2 cm², arrondie au dixième près.**
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Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
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\(m\;\angle C = 180^\circ - 65^\circ - 57^\circ = 58^\circ\)
\(m\;\angle C = 58^\circ\)
car la somme des angles d’un triangle est de 180°.
On recherche \(m\overline {AC}\) .
Par la loi des sinus:
\(\frac {a}{\sin A} = \frac {b}{\sin B}\)
a (9,5 cm) représente le côté opposé à l’angle A (65°) et
b représente le côté opposé à l’angle B (57°).
\(\frac {9,5}{\sin 65^\circ} = \frac {b}{\sin 57^\circ}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(9,5 \times \sin 57^\circ = b \times \sin 65^\circ\) car le produit des extrêmes égale le produit des moyens.
\(\frac {9,5 \times \sin 57^\circ}{\sin 65^\circ} = b\) en divisant chaque membre de l’équation par sin 65° pour isoler b.
\(8,8 \approx b\) en arrondissant au dixième près.
On recherche ensuite \(m\;\overline {AB}\)
Par la loi des sinus:
\(\frac {a}{\sin A} = \frac {c}{\sin C}\)
a (9,5 cm) représente le côté opposé à l’angle A (65°) et
c représente le côté opposé à l’angle C (58°).
\(\frac {9,5}{\sin 65^\circ} = \frac {c}{\sin 58^\circ}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(9,5 \times \sin 58^\circ = c \times \sin 65^\circ\) car le produit des extrêmes égale le produit des moyens.
\(\frac {9,5 \times \sin 58^\circ}{\sin 65^\circ} = c\) en divisant chaque membre de l’équation par sin 65° pour isoler c.
\(8,9 \approx c\) en arrondissant au dixième près.
On peut maintenant trouver l’aire du triangle, car on connaît la mesure des trois côtés :
\(\overline {AB} = 8,9cm\)
\(\overline {BC} = 9,5cm\)
et \(\overline {AC} = 8,8cm\)
\(aire = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}\)
\(a = 8,9\)
\(b = 9,5\)
\(c = 8,8\)
\(p = \frac {8,9 + 9,5 + 8,8}{2}\)
\(p = 13,6cm\)
Maintenant, on remplace ces valeurs dans la formule :
\(aire = \sqrt{13,6 (13,6 - 8,9) (13,6 - 9,5) (13,6 - 8,8)}\) en remplaçant les valeurs connues.
\(aire = \sqrt{13,6 (4,7) (4,1) (4,8)}\) par soustraction dans les parenthèses.
\(aire = \sqrt{13,6 \times 4,7 \times 4,1 \times 4,8}\) en appliquant la racine carrée à toute la multiplication.
\(aire = 35,5\) en arrondissant au dixième près.
**Donc, l’aire du triangle ABC est d’environ 35,5 cm².**
Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
Aire = (b x h)/2
Comme c'est un triangle rectangle isocèle, la base mesure 7 cm et la hauteur aussi.
Aire = (7 x 7)/2
Aire = 24,5 cm²
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Détermine l’aire du triangle suivant. Donne ta réponse arrondie au dixième près.
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Pour trouver l’aire de ce triangle, il faut utiliser la formule trigonométrique.
Aire= a x b x sin C
2
Aire = 8 x 6 x sin 115
2
**Donc, l’aire du triangle ABC est 21,8 cm², arrondie au dixième près.**