Math 4e sec CST4 CSSBE-CSSDM

Voici les règles d'une fonction définie par parties:

f₁(x) = 6                     pour x ε [0, 5]

f₂(x) = 2x - 4              pour x ε [5, 9]

f₃(x) = (-7/3)x + 35     pour x ε [9, 15]

a) Fais le graphique de cette fonction définie par parties.

b) Que vaut f(7) ?

c) Quelle est l'image de cette fonction?

d) Quelles sont les coordonnées à l'origine?

e) Quels sont les extremums?

a)

b) f(7) = 10   car x = 7 est dans l'intervalle de f₂(x) et f₂(x)=2x - 4, donc f₂(7)= 2(7) - 4

c) y ε [0, 14]

d) Ordonnée à l'origine:  f(0) = 6

    Abscisse à l'origine:    f(x) = 0 pour x = 15

e)  Minimum à y = 0 et maximum à y = 14

a) Quelle est la période de la fonction f(x) représentée ci-dessous?

b) Que vaut f(50)?

a) Période = 2

b) 50, c'est 25 x 2 + 0

J'ai cherché le plus grand multiple de 2 (la période) plus petit ou égal à 50. C'est 50.

50, c'est 2 x 25.  Alors, cette valeur est située 25 cycles plus loin que x = 0, mais elle vaut la même chose que f(0).

Donc, f(50) = 1.

a) Quelles règles définissent cette fonction définie par parties?

b) Que vaut f(3) ?

c) Étudie la variation de cette fonction.

a)

f₁(x) = ax²   avec le point (6, 18)

18 = a (6)²

18 = a (36)

½ = a

f₁(x) = ½x²   pour x ε [0, 6]

f₂(x) = ax + b  avec les points (6, 18) et (12, 10)

a = 10 - 18

       12 - 6

a = -8/6  donc -4/3

f₂(x) = (-4/3)x + b

10 = (-4/3)(12) + b

10 = -16 + b

26 = b

f₂(x) = (-4/3)x + 26   pour x ε [6, 12]

f₃(x) = 10    pour x ε [12, 16]

b) f(3) = ½(3)²

    f(3) = 9/2  ou 4,5

c) La fonction est:

Croissante pour x ε [0, 6]

Décroissante pour x ε [6, 12]

Nulle pour  x ε [12, 16]

a) Quelle est la période de la fonction f(x) représentée ci-dessous?

b) Quelle sera la valeur de y à x = 41 ?

a) Période = 4

b) 41, c'est 4 x 10 + 1

J'ai cherché le plus grand multiple de 4 (la période) plus petit ou égal à  41. C'est 40.

40, c'est 4 x 10.  Alors, cette valeur est située 10 cycles plus loin que x = 1, mais elle vaut la même chose que f(1).

Donc, f(41) = 1.

Mathias fait des tours de montgolfières.  

Le graphique ci-dessous représente l'altitude (m)  de sa montgolfière selon le temps (min) lors d'un tour.

a) Combien de temps a duré le tour?

b) Quelle altitude maximale est atteinte lors de la ballade?

c) Sur quel intervalle de temps l'altitude est-elle stable?

d) Combien de temps est nécessaire pour atteindre l'altitude maximale?

e) Pendant combien de temps l'altitude a-t-elle été supérieure à 800 mètres?

a) 38 minutes

b) 1000 m

c) De la 8^e à la 28^e minute ou sur l'intervalle [8, 28]

d) 8 minutes

e) Pour répondre à cette question, il faut trouver les règle des droites représentant la montée et la descente de la montgolfière.  Par la suite, on pourra trouver à quels moments l'altitude est de 800 mètres.

Montée  Couples (0,0) et (8,1000)

Règle: f(x)=125x

Trouver x pour f(x)=800

800=125x

6,4 minutes = x

Descente  Couples (28, 1000) et (38,0)

Règle: g(x)= -100x+3800

Trouver x pour g(x)=800

 800= -100x+3800

-3000=-100x

30 minutes=x

Réponse: L'altitude de la montgolfière a été supérieure à 800 mètres de 6,4 minutes à 30 minutes, ce qui veut dire pendant une durée de 23,6 minutes.

a)12 heures

b) La distance de la pointe de l'aiguille par rapport au sol alors qu'il est 3h PM, ce qui est aussi la distance du centre de l'horloge par rapport au sol, soit 180 cm.

c) La plus courte: 165 cm et la plus grande : 195 cm.

d) C'est 9h après le début de l'observation qui est 15h.  15h + 9h = 24 h donc il sera minuit.

e) 4 cycles de 12 heures sont représentés, ce qui représente 48 h ou 2 journées complètes.

f) Qu'il soit 6h AM ou 6h PM, l'aiguille est à son point le plus bas, soit 165 cm.

Fonction périodique

Fonction définie par parties