Vidéo de théorie et exercices-Fonction exponentielle

Représente graphiquement les relations exponentielles suivantes en utilisant une graduation appropriée.

1. $y = 450 \cdot 0,9^x$
2. $y = 100 \cdot 1,16^x$

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Détermine la règle de cette fonction exponentielle.

1- Remplacer le paramètre a par la valeur initiale de la fonction (valeur de y lorsque x = 0).

$y = 4 \cdot (c)^x$, car la courbe coupe l'axe des ordonnées à 4.

2- Remplacer les coordonnées x et y de la fonction par les coordonnées d'un point (x, y) de la fonction (non situé sur l'axe des ordonnées).

$9 = 4 \cdot (c)^2$, car le point (2, 9) appartient à cette courbe

3- Résoudre l'équation formée afin de déterminer la valeur du paramètre b (base).

$9 = 4 \cdot (c)^2$ $2,25 = (c)^2$, en divisant chaque membre de l'équation par 4 $1,5 = c$, en faisant la racine carré à chaque membre de l'équation---

4- Écrire la règle de la fonction obtenue.

$y = 4 \cdot (1,5)^x$

Une culture de bactéries voit sa population quadrupler toutes les heures selon la relation f(x) = 20(4)^x.

Laquelle des tables de valeurs ci-dessous représente cette relation?

x	y
0	20
0,5	40
1,5	120
2	160

x	y
0	20
1	80
1,5	160
3	1280

x	y
0	0
1	80
2	320
3	1280

x	y
20	0
80	1
320	2
1280	3

La réponse est B)

Dans deux clubs de location de films, une pénalité est exigée lorsqu'un film loué est remis en retard.

Pour déterminer le montant de la location, incluant la pénalité, le club A utilise la règle suivante.

f(x) = 4(1,15)^x

où f(x) représente le montant de location , en dollars, et x représente le nombre de jours de retard.

Le montant exigé par le club B comprend un prix de base pour la location auquel s'ajoute une pénalité pour chaque jour de retard. La table de valeurs suivante présente des exemples de montants exigés par le club B.

Nombre de jours de retard	Montant
1	4,75$
5	7,75$
10	11,50$

Pour 7 jours de retard, quelle est la différence entre les montants exigés par les deux clubs?

Réponse: 1,39$

1. Montant exigé par le Club A

f(x) = 4(1,15)^x

f(4) = 4(1,15)⁷

f(7) = 10,64$

2. Montant exigé par le Club B

taux de variation= 7,75 - 4,75

5 - 1

taux de variation = 0,75

g(x) = ax + b

g(x) = 0,75x + b

4,75 = 0,75 (1) + b

4 = b

g(x) = 0,75x + 4

g(7) = 0,75(7) + 4

g(7) = 9,25$

3. Différence des montants

10,64 - 9,25 = 1,39$

Une compagnie qui développe des processeurs informatiques depuis 1988 évalue que, chaque année, la vitesse des processeurs augmente de 21% par rapport à l'année précédente. Le 1^er janvier 1988, la vitesse d'un processeur était de 66 mégahertz (MHz).

Cette situation est représentée par la règle y = 66(1,21)^x

où x: temps écoulé depuis le 1^er janvier 1988, en années

y: vitesse du processeur, en MHz

À ce rythme, quelle sera, au MHz près, la vitesse d'un processeur le 1^er janvier 2015?

y = 66(1,21)^x et on cherche y à x = 27 (2015-1988)

y = 66(1,21)²⁷

y = 11343,5 MHz

Justin investit 10 000$ en achetant des titres de placement.

Chaque année, la valeurs de ces titres de placement augmente de 10% par rapport à leur valeur de l'année précédente.

Laquelle des tables de valeurs suivantes peut représenter la valeur des titres de placement de Justin selon le nombre d'années écoulées depuis leur achat?

Nombre d'années	Valeur des titres ($)
1	10 000
2	11 000
3	12 000

Nombre d'années	Valeur des titres ($)
1	10 000
2	11 100
3	12 110

Nombre d'années	Valeur des titres ($)
1	11 000
2	12 000
3	13 000

Nombre d'années	Valeur des titres ($)
1	11 000
2	12 100
3	13 310

La bonne réponse est D)

Anne-Marie vient de terminer son DEC en comptabilité.

Deux emplois intéressants s'offrent à elle et elle doit faire un choix.

Emploi A

Salaire de départ: 25 000$/an

Évolution du salaire:

Son salaire suit une courbe exponentielle passant par (3; 26725,75)

Emploi B

Salaire de départ: 24 000$/an

Évolution du salaire:

L'employeur garantit une augmentation salariale annuelle de 3%.

Le frère d'Anne-Marie observe ces informations et dit à sa soeur: "Tu devrais choisir l'emploi A car le salaire sera toujours plus élevé. Ce dernier a-t-il raison? Utilise les tables de valeurs.

N.B. Les augmentations de salaire se font toujours le 1^er janvier et Anne-Marie commencera à travailler au début de janvier aussi.

Emploi A

Recherche de la règle de la forme f(x)= ac^x avec a= 25 000 et le point (3; 26725,75)

26725,75=25000c³

1,06903=c³

1,0225=c

La règle est f(x) = 25000(1,0225)^x

Emploi B

La règle est g(x)= 24000(1,03)^x

Nb années	Emploi A	Emploi B
0	25000	24000
4	27327,08	27012,21
5	27941,94	27822,58
6	28570,64	28657,26

À partir de la 6^e année, l'emploi B offre le meilleur salaire.

Donc son frère a tort.

Vincent s'achète un condominium de 192 000$ le 1^er janvier 2016.

La valeur du condominium selon le temps écoulé à partir du 1^er janvier 2016 est décrite par la fonction

f(x) = 192000(1,03)^x, où x est le temps en années et f(x) la valeur du condo en $.

Dans combien d'années la valeur du condominium sera-t-elle de 229 258$ ?

N.B. Utilise la table de valeurs.

Années	Valeur($)
0	192 000
1	197 760
2	203 693
3	209 804
4	216 098
5	222 581
6	229 258

Réponse: Après 6 ans.

Marie-Ève effectue un placement de 2500$ à la banque au taux d'intérêt annuel de 2,5%.

Mathieu place aussi au même moment un certain montant à la banque.

Ce montant évolue selon le modèle exponentiel g(x) = ac^x.

Les valeurs exprimées dans la table de valeurs suivante sont celles du placement de Mathieu.

Années	Valeur ($)
0	2750
2	2861,10

Après combien d'années le placement de Mathieu aura-t-il atteint la même valeur que le montant accumulé par Marie-Ève après 8 ans?

Pour Marie-Ève, la règle est de la forme f(x) = ac^x.

La valeur de départ (le a) est de 2500$.

Pour la base c, 100% + 2,5%= 102,5% ce qui est équivalent à 1,025

La règle est :f(x)= 2500(1,025)^x

Après 8 ans, f(8)= 2500(1,025)⁸, ce qui donne 3046$

On peut aussi faire une table de valeurs pour le trouver.

Pour Mathieu, la règle est de la forme g(x) = ac^x.

La valeur de départ (le a) est de 2750$.

Pour trouver le c, on remplace x et g(x) par le couple (2; 2861,10)

2861,10 = 2750 c²

1,0404 = c²

1,02 = c

La règle est donc g(x)= 2750(1,02)^x

Il faut ensuite faire la table de valeurs pour trouver le moment où Mathieu aura dépassé 3046$.

Ce sera à la 6^e année.

Années	Placement Marie-Ève	Placement Mathieu
0	2500	2750
1	2562,50	2805
2	2626,60	2861,10
3	2692,20	2918,30
4	2759,50	2976,70
5	2828,50	3036,20
6	2899,20	3096,90
7	2971,70
8	3046

Fonction de base et transformée

Représentation graphique et recherche de la règle

La connexion a été perdu.

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