Math 4e sec SN4 CSSBE-CSSDM

1. Recherche de la mesure du segment BD

\(m\overline{AD}^2=m\overline{CD}\cdot m\overline{BD}\)   Théorème des projections

\(6,7^2=5,13\cdot m\overline{BD}\)  

\(m\overline{BD}=8,75 m\) 

2. Recherche de la mesure du segment AB

\(m\overline{BD}^2=m\overline{AD}^2+m\overline{AB}^2\)   Relation de Pythagore

\(8,75^2=6,7^2+m\overline{AB}^2\)

\(m\overline{AB}=5,6m\)

Réponse: 5,6 mètres

1.  Trouver la mesure de la hauteur AB

\(m\overline{AB}^2=m\overline{DB}\cdot m\overline{BC}\)    Théorème de la hauteur

\(m\overline{AB}^2=9\cdot 3\) 

\(m\overline{AB}=5,2 cm\) 

2. Calcul de l'aire

Aire = (base x hauteur)/2

Aire = (12 x 5,2)/2

Aire = 31,2 cm²

La réponse est A.

L'angle B mesure 44^o car la somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180^o.

La mesure du côté BA se trouve avec la loi des sinus.

\(\frac{865}{sin 44}=\frac{?}{sin 77}\)

Les triangles ADE et ACB sont semblables par AA.  (Angle A commun et angle droit).

Les côtés de ces triangles ont donc des mesures qui sont proportionnelles.

Posons la proportion:

\(\frac{m\overline{AD}}{m\overline{AC}}=\frac{m\overline{DE}}{m\overline{CB}}\)

\(\frac{x}{x+2}=\frac{3}{4}\)

4x = 3(x + 2)

4x = 3x + 6

x = 6

Donc \(m\overline{AD}=6 m\)

La hauteur AC de la voile est de 8 mètres.

Réponse: La mesure de l'angle C est d'environ 65^o.

Pour ce faire, il faut utiliser la loi des cosinus, après avoir préalablement trouvé les longueurs de chacun des côtés.

Par exemple, pour trouver la mesure du côté AB:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)  avec les points A(6, 20) et B(17, 9).

d = √((17 - 6)² + (9 - 20)²)

d = √(121 + 121)

d = 15,55

Faire la même chose pour les 3 côtés.

On obtient:

\(m\overline{AB}=15,55\)

\(m\overline{BC}=5\)

\(m\overline{AC}=17\)

Recherche de la mesure de l'angle C

c² = a² + b² - 2ab cos C

où \(c= m\overline{AB}, a=m\overline{BC} et b = m\overline{AC}\)

15,55² = 5² + 17² - 2(5)(17)cos C

242-25-289 = -170 cos C

0,4235 = cos C

mesure de l'angle C= cos^-1(0,4235)

mesure de l'angle C= 65^o

Réponse: L'aire du triangle ABD est d'environ 19 cm².

1. Mesure du segment BD

\(sin\;\angle\;C=\frac{m\overline{BD}}{m\overline{BC}}\)

\(sin30,75^\circ=\frac{m\overline{BD}}{10 cm}\)

\(m\overline{BD}\approx 5,11 cm\)

2. Mesure du segment DC

\(cos\;\angle\;C=\frac{m\overline{DC}}{m\overline{BC}}\)

\(cos30,75^\circ=\frac{m\overline{DC}}{10 cm}\)

\(m\overline{DC}\approx8,59 cm\)

3.  Mesure du segment AD

\(m\overline{AD}=m\overline{AC}-m\overline{DC}\)

\(m\overline{AD}=16 - 8,59\)

\(m\overline{AD}\approx 7,41 cm\)

4.  Aire du triangle ABD

 Aire = (b x h)/2

Aire = (7,41 x 5,11)/2

Aire ≈ 18,9

Comme les deux triangles sont semblables, on peut établir une proportion entre les mesures des côtés.

\(\frac{m\overline{EF}}{m\overline{EH}}=\frac{m\overline{FJ}}{m\overline{HG}}=\frac{m\overline{EJ}}{m\overline{EG}}\)

Pour trouver \({m\overline{EJ}}\)

\(\frac{m\overline{FJ}}{m\overline{HG}}=\frac{m\overline{EJ}}{m\overline{EG}}\)

\(\frac{8,4}{18,8}=\frac{m\overline{EJ}}{20,2}\)

\(m\overline{EJ}\approx9 mm\)

Pour trouver \({m\overline{EF}}\)

\(\frac{m\overline{EF}}{m\overline{EH}}=\frac{m\overline{FJ}}{m\overline{HG}}\)

\(\frac{m\overline{EF}}{13,4}=\frac{8,4}{18,8}\)

\(m\overline{EF}\approx6mm\)

Donc, la mesure du segment FG est 14,2 mm.

Réponse: L'aire est de 1063 cm².

1. Mesure de l'angle BAH

\(cos\;\angle\;A=\frac{m\overline{AH}}{m\overline{AB}}\)

\(cos\;\angle\;A=\frac{63}{69}\)

\(m\;\angle\;A=24,1^\circ\)

2. Mesure du côté BC

\(tan\;\angle\;A=\frac{m\overline{BC}}{m\overline{AB}}\)

\(tan24,1^\circ=\frac{m\overline{BC}}{69}\)

\(m\overline{BC}\approx30,82 cm\)

3. Aire du triangle ABC

\(Aire=\frac{m\overline{AB}\times m\overline{BC}}{2}\)

Aire ≈ (69 x 30,82)/2

Aire ≈ 1063,3 cm²

N.B.  Il est aussi possible de trouver la mesure de la hauteur BH par Pythagore et ensuite la mesure du segment HC par le théorème de la hauteur,

1.  Mesure du côté DN

\(\frac{m\overline{AN}}{sinD}=\frac{m\overline{DN}}{sinA}\)     Loi des sinus

\(\frac{23}{sin100^\circ}=\frac{m\overline{DN}}{sin22^\circ}\)

\(m\overline{DN}\approx8,75 cm\)

2.  Mesure du côté DA

La mesure de l'angle N est 58^o car la somme des mesures des angles intérieurs d'un triangle est 180^o.

\(\frac{m\overline{AN}}{sinD}=\frac{m\overline{DA}}{sinN}\)     Loi des sinus

\(\frac{23}{sin100^\circ}=\frac{m\overline{DA}}{sin58^\circ}\)

\(m\overline{DA}\approx19,81 cm\)

3.  Calcul de l'aire du triangle DAN

Avec la formule de Héron 

Aire = √ (p(p - a)(p - b)(p - c))                    p= demi-périmètre

Le demi-périmètre est 25,78 cm.

Aire = √ (25,78(25,78 - 8,75)(25,78 - 19,81)(25,78 - 23))   

Aire = √ (25,78(17,03)(5,97)(2,78))

Aire = √7286,46

Aire = 85,4 cm²