Vidéo de théorie et exercices-Loi des cosinus
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1- Écouter la vidéo ci-dessous.
Si tu le préfères, tu peux écouter la vidéo par parties.
Ces parties sont disponibles dans les onglets "Vidéo", après la série d'exercices.
2- Répondre aux exercices sur du papier.
Les questions des exercices se retrouvent dans les onglets «Q» ci-dessous.
3- Corriger les exercices.
Les réponses (corrigés) pour chacune des questions se retrouvent dans les onglets «R» ci-dessous. |
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Les dimensions d’un lot de terre triangulaire sont de 120 m, 150 m et de 100 m. Déterminez les angles de ce lot. |
1) Recherche de l'angle C, en face du côté de 150m
Avec la loi des cosinus,
c² = a² +b² - 2 (a)(b)cos C
150² = 100² +120² - 2 (100)(120)cos C
150² - 100² -120² = - 2 (100)(120)cos C
-1900 = -24000 cos C Attention! On divise maintenant par -24000.
0,07917 = cos C
Mesure de l'angle C = cos-1(0,07917)
Mesure de l'angle C = 85,5o
2) Recherche de l'angle B, en face du côté de 100m
Avec la loi des sinus,
150 = 100
sin85,5o sin B
sin B= 0,66
Mesure de l'angle B = sin-1(0,66)
Mesure de l'angle B = 41,6o
3) Recherche de l'angle A, en face du côté de 120m
C'est le troisième angle donc, comme la somme des angles intérieurs du triangle est de 180o, la mesure de l'angle A =180-(41,6 + 85,5).
Mesure de l'angle A = 52,9o
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Un bateau quitte le port et parcourt 28 km vers l’est. Ensuite, il fait 33 km en direction sud-est à 27° (27° à l'est de la direction sud). À quelle distance se trouve-t-il maintenant du port? |
Esquisse de la situation:
Loi des cosinus avec deux côtés (28 et 33 km) et un angle (117o).
c² = a² +b² - 2 (a)(b)cosC
c² = 28² +33² - 2 (28)(33)cos117o
c² = 2711,97
c = 52,08 donc à 52 km du port.
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Un câble d’une longueur de 5,5 mètres est plié de façon à former un triangle. Un de ses côtés mesure 1,5 mètres de longueur et un autre mesure 2 mètres. Détermine les angles du triangle ainsi formé. |
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Le triangle est isocèle et les mesures des côtés sont 2m, 2m et 1,5m.
Recherche de l'angle C, en face du côté de 1,5m
Avec la loi des cosinus,
c² = a² +b² - 2 (a)(b)cos C
1,5² = 2² +2² - 2 (2)(2)cos C
1,5² - 2² -2² = - 2 (2)(2)cos C
-5,75 = -8 cos C Attention! On divise maintenant par -8.
0,71875 = cos C
Mesure de l'angle C = cos-1(0,71875 )
Mesure de l'angle C = 44o
Comme le triangle est isocèle, il reste 136o pour les deux autres angles, donc, 68o chacun.
Réponse : 68°, 68° et 44°
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L’angle d’un sommet d’un triangle isocèle mesure 38°. Il est compris entre deux côtés de 6,1 mètres de longueur. Détermine l’aire du triangle. |
On peut calculer l'aire avec la formule de Héron ou bien avec la formule (b x h)/2.
Il faut trouver la mesure du côté BC, pour l'une ou l'autre des façons.
Recherche de la mesure de BC
Avec la loi des cosinus,
a² = 6,1² + 6,1² - 2 (6,1)(6,1)cos 38o
La mesure de BC est la valeur de "a", qui est 3,97 m.
On peut déjà calculer l'aire avec Héron car on a la mesure des trois côtés.
Recherche de la mesure de la hauteur AH
La hauteur d'un triangle isocèle est aussi une bissectrice et une médiane.
La mesure du segment BH est dont de 1,98m (3,97/2) et la mesure de l'angle BAH de 19o.
À l'aide de la relation de Pythagore dans le ΔBHA, on peut trouver la mesure de la hauteur AH, qui sera de 5,77 m.
Calcul de l'aire
Aire= (b x h)/2
Aire= (3,97 x 5,77)/2
Aire= 11,45 m2
La résidence de Mélanie (M) est située à 4 km de celle de Justin (J).
La résidence de Justin (J) est située à 5 km de celle de Carole (C).
La mesure de l’angle MJC est de 74°. Ils réalisent que ces trajets forment un triangle tel qu’illustré dans le schéma ci-contre.
Quelle distance sépare les résidences de Mélanie (M) et de Carole (C)?
Avec la loi des cosinus,
j² = c² +m² - 2 (c)(m)cos J (en utilisant les lettres du triangle de la question)
j² = 4² +5² - 2 (4)(5)cos 74o
j² = 29,97
j = 5,47 km
La distance entre Mélanie et Carole est de 5,47 km.
Un ingénieur recherche une formule pour calculer la longueur (L) de n'importe quelle traverse oblique d'un pylône, en fonction de la pièce horizontale (H) qui lui correspond.
L'angle du montant est de 80° par rapport à l'horizontale.
De plus, les pièces horizontales sont montées à tous les deux mètres le long de ces montants.
Quelle est la formule recherchée par cet ingénieur?
\(L = \sqrt {4 + H^2 - 4 H \cos 80^\circ}\)
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Un cadre métallique a la forme d'un trapèze isocèle. La longueur de la grande base est de 7 m, celle des deux côtés obliques est de 5 m et la mesure des angles à la base est de 82°. Quelle doit être la longueur d'une tige métallique qui doit être soudée en diagonale? (On arrondira au dixième). |
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Avec la loi des cosinus,
c² = 5² + 7² - 2 (5)(7)cos 82o
Réponse: 8 mètres
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Un terrain a la forme d'un quadrilatère dont les côtés mesurent respectivement 24 m, 30 m, 32 m et 35 m. Les côtés de 24 m et 32 m sont situés sur deux rues qui sont perpendiculaires. Quelle est la mesure de l'angle opposé à l'angle droit? |
Il faut trouver la mesure de l'hypoténuse du triangle rectangle avec Pythagore. Cette dernière sera de 40 mètres.
Ensuite, utiliser la loi des cosinus dans le triangle ayant les mesures de côtés de 30m, 35m et 40m pour trouver la mesure de l'angle en face du côté de 40 m.
c² = a² +b² - 2 (a)(b)cos C
40² = 30² +35² - 2 (30)(35)cos C
40² - 30² -352 = - 2 (30)(35)cos C
-525 = -2100 cos C Attention! On divise maintenant par -2100.
0,25 = cos C
Mesure de l'angle C = cos-1(0,25)
Mesure de l'angle C = 75,5o
Réponse: 75,5°
Théorie.
Exemples.