Math 4e sec SN4 CSSBE-CSSDM

a)

\(2x^2 + 5x = 0\)
\(x(2x + 5)\)
\(x = 0\)
\(x = \frac {-5}{2}\)

b)

\(6x^2 + 5x = 6\)
\(6x^2 + 5x - 6 = 0\)
\((2x + 3)(3x - 2) = 0\)
\(x = \frac {-3}{2}\)
\(x = \frac {2}{3}\)

c)

\(4x^2 - 12x = -9\)
\(4x^2 - 12x + 9 = 0\)
\((2x - 3)^2 = 0\)
\(x = \frac {3}{2}\)

d)

\(x^2 - 7x + 10 = 0\)
\((x - 5)(x - 2) = 0\)
\(x = 5\) et  \(x = 2\)

Résous les équations suivantes en utilisant la méthode qui convient à la situation.
 

a)

\(x^2 + 2x = 1\)

b)

\(2(x - 4)^2 - 4 = 0\)

c)

\(x^2 + 4x + 1 = 0\)

d)

\(-2(x - 2)^2 + 18 = 0\)

e)

\(x^2 - 6x = -10\)

f)

\((x - 3)^2 -36 = 0\)

a)

\(x^2 + 2x = 1\)
\(x^2 + 2x - 1 = 0\)
\(x=\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x=\frac {-2 \pm \sqrt {2^2 - 4 \cdot 1 \cdot -1}}{2 \cdot 1}\)
\(x=\frac {-2 \pm \sqrt {8}}{2}\)
\(x \approx -2,4\) et \(x \approx 0,4\)

b)

\(2(x - 4)^2 - 4 = 0\)

\(2(x - 4)^2 = 4\) 
\((x - 4)^2 = 2\) 
«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msqrt»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§#178;«/mo»«/msqrt»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msqrt»«mn»2«/mn»«/msqrt»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#177;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4142«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»5«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8776;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»-«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»+«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mn»2«/mn»«mo»,«/mo»«mn»6«/mn»«/math»
\(x \approx 2,6\) et \(x \approx 5,4\)

c)

\(x^2 + 4x + 1 = 0\)
\(\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(\frac {-4 \pm \sqrt {4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)
\(\frac {-4 \pm \sqrt {12}}{2}\)
\(x \approx -0,27\) et \(x \approx -3,73\)

d)

\(-2(x - 2)^2 + 18 = 0\)
\(x = 5\) et \(x = -1\)

e)

\(x^2 - 6x = -10\)
\(x^2 - 6x + 10 = 0\)
\(x=\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x=\frac {6 \pm \sqrt {(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}\)
\(x=\frac {6 \pm \sqrt {-4}}{2}\)

Impossible, donc aucun zéro

f)

\((x - 3)^2 = 36\)
\(x = 9\) et \(x = -3\)

La hauteur h(t) d’un projectile mesurée à partir du sol est donnée par :

\(h(t) = -t^2 + 10t\)

où t désigne le temps en secondes écoulées depuis le lancer.

a) À quel instant, **lors de la montée** du projectile, la cible est-elle atteinte si celle-ci est située à 16 m au dessus du sol?

b) Le projectile peut-il atteindre une cible située à une hauteur de 30 m?

a)

Il y a deux moments où h(t)=16, 

un lors de la montée et un lors de la

descente.

\(h(t) = -t^2 + 10t\)
\(16 = -t^2 + 10t\)
\(0 = -t^2 + 10t - 16\)
\(0 = t^2 - 10t + 16\)
\(0 = (t - 8) (t - 2)\) 
\(t = 8\) ou \(t = 2\)

Réponse : On choisit 2 secondes car pendant la montée

b)

\(h(t) = -t^2 + 10t\) 
\(30 = -t^2 + 10t\) 
\(0 = -t^2 - 10t + 30\)
\(x=\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x=\frac {10 \pm \sqrt {(-10)^2 - 4 \cdot -1 \cdot -30}}{2 \cdot -1}\)
\(x=\frac {10 \pm \sqrt {-20}}{-2}\)

Impossible, donc le projectile ne peut pas atteindre une hauteur de 30 m.

Soit l'équation suivante où v désigne la valeur d'une action et t désigne le nombre de semaines écoulées depuis son achat.

\(v(t) = \frac {-1}{4}t^2 + t + 4\)

a) Après combien de semaines l’action vaut-elle 5,00 $?
b) L’action peut-elle atteindre une valeur de 10,00 $?
c) Après combien de semaines l’action retrouve-t-elle la valeur de son achat?

Du haut d’un rocher, on lance un projectile vers le haut.

Après combien de temps le projectile atteint-il une hauteur de 48 m, si l’équation qui décrit cette situation est :

\(h(t) = \frac {-2}{3}(x - 5)^2 + 54\)

Résous les inéquations suivantes :

a)

\(x^2 + 5x + 6 > 0\)

b)

\(2x^2 - 4x \le 0\)

c)

\(3(x + 1)^2 + 1 \le 4\)

a)         x  ε   U   

 b)    x  ε \([0,\;2]\)

c)   x  ε \([-2,\;0]\)

Un objet est lancé dans les airs. La hauteur qu’il atteint en fonction du temps écoulé s’exprime par la formule :

\(h = -x^2 + 5x\)

où \(h\) est la hauteur en mètres et \(x\) est le temps en secondes.

Dans quel intervalle de temps le projectile se situe t-il en-dessous de la droite dont l'équation a une pente de -1 et une ordonnée à l'origine de 5?

\(-x^2 + 5x < -x + 5\)

\(-x^2 + 6x - 5 < 0\)

Cette équation est sous la forme générale ax² + bx + c = 0, donc on utilise la formule : \(\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(a = -1\) \(b = 6\) et \(c = -5\)

\(x=\frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(x=\frac {-6 \pm \sqrt {(6)^2 - 4 \cdot -1 \cdot -5}}{2 \cdot -1}\)

\(x=\frac {-6 \pm \sqrt {36 - 20}}{-2}\)

\(x=\frac {-6 \pm \sqrt {16}}{-2}\)

\(x=\frac {-6 \pm 4}{-2}\)

\(x_1 = 1\) ou \(x_2 = 5\)

Étant donné que le paramètre a est négatif, la fonction quadratique est en-dessous de la fonction y = - x + 5 pour des valeurs de x en bas de x = 1 et en haut de x = 5.

L'ensemble-solution est :

x ε  U