soleil

Parmi les polynômes suivants, quels sont ceux qui représentent une différence de deux carrés parfaits?

a) \(y - 3\)  

b) \(y - 9\)  

c) \(y^2 - 9\)  

d) \(9 - y^2\)  

e) \(-9 + y\)  

f) \(-9 + y^2\)  

g) \(a^2 - ab\)  

h) \(b^2 - a^2\)  

i) \(25x^2 - 16\)  

j) \(16 - 25x^2\)  

k) \(81x^2 + 64\)  

l) \(-x^2 + 49x^3\)

c) \(y^2 - 9\)
d) \(9 - y^2\)
f) \(-9+y^2=y^2-9\)
h) \(b^2 - a^2\)
i) \(25x^2 - 16\)
j) \(16 - 25x^2\)

Marc

Décomposez en facteurs les polynômes suivants et vérifiez.

 a) \(x^2 - 4\)  

b) \(a^2 - b^2\)  

c) \(x^2 - 81\)  

d) \(a^2b^2 - 49\)  

e) \(16x^2 - 49y^2\)  

f) \(25a^2 - b^2\)  

g) \(x^2 - 1\)

 h) \(9 - v^2\)

 i) \(64a^2b^2 - 81z^2\)  

j) \(1 - y^2\)

 k) \(x^2 - y^2\)  

l) \(5a^2 - 5b^2\)  

m) \(ab^2 - a\)

 n) \(5t^2 - 45\)  

o) \(3x^2 - 243\)  

p) \(81 - 9s^2\)

.

 

 a) \((x + 2)(x - 2)\)
 b) \((a - b)(a + b)\)
 c) \((x + 9)(x - 9)\)  
 d) \((ab - 7)(ab + 7)\)
 e) \((4x + 7y)(4x - 7y)\)
 f) \((5a - b)(5a + b)\)
 g) \((x - 1)(x + 1)\)
 h) \((3 - v)(3 + v)\)
 i) \((8ab - 9z)(8ab + 9z)\)
 j) \((1 - y)(1 + y)\)
 k) \((x - y)(x + y)\)
 l) \(5(a - b)(a + b)\) Il faut toujours effectuer une mise en évidence simple, si possible, avant de faire la différence de carrés.
 m) \(a(b - 1)(b + 1)\)
 n) \(5(t - 3)(t + 3)\)
 o) \(3(x - 9)(x + 9)\)
 p) \(9(3 - s)(3 + s)\)

Décomposez en facteurs les polynômes suivants et vérifiez.

a) \(x^2y - 9y + ax^2 - 9a\)  

b) \(16a^2x - xb^2 - 16a^2 + b^2\)  

c) \(a^2b - b - 4a^2 + 4\)  

d) \(xy^2 - x + y^3 - y\)  

e) \(a^2x^2 - 4x^2 - a^2y^2 + 4y^2\)  

f) \((x + y)^2 - z^2\)  

g) \((a + b)^2 - 16\)  

h) \(x^2 - (y + z)^2\)

Pour les exercices a à e, il y a une double mise en évidence à faire avant de procéder à la factorisation de la différence de deux carrés.

a)

\(y(x^2 - 9) + a(x^2 - 9)\) =
\(x^2 - 9)(y + a)\) =
\(x - 3)(x + 3)(y + a)\)


b)

\(16a^2(x - 1) - b^2( x-1)\) =
\(x - 1)(16a^2 - b^2)\) =
\(x - 1)(4a + b)(4a - b)\)


c)

\(b(a^2 - 1) - 4(a^2 - 1)\) =
\(b - 4)(a^2 - 1)\) =
\(b - 4)(a + 1)(a - 1)\)


d)

\(x(y^2 - 1) + y(y^2 - 1)\) =
\(y^2 - 1)(x + y)\) =
\(y - 1)(y + 1)(x + y)\)


e)

\(x^2(a^2 - 4) - y^2(a^2 - 4)\) =
\(a^2 - 4)(x^2 - y^2)\) =
\(a + 2)(a - 2)(x - y)(x + y)\)


f)

\(((x + y) - z)((x + y) + z)\)


g)

\(((a + b) - 4)((a + b) + 4)\)


h)

\((x - (y + z))(x + (y + z))\)

 

Décomposez en facteurs les polynômes suivants et vérifiez.

a) \(b^2 - 16\)  

b) \(m^4 - 1\)  

c) \(81x^2 - 100y^2\)  

d) \(4a^2 - 9b^4\)  

e) \(64x^2 - 25y^2\)  

f) \(49a^2b^4 - 9a^4b^2\)  

g) \((a - b)^2 - d^2\)

 a) \((b - 4)(b + 4)\)
 b) \((m^2 + 1)(m^2 - 1) = (m^2 + 1)(m + 1)(m - 1)\)
 c) \((9x + 10y)(9x - 10y)\)
 d) \((2a + 3b^2)(2a - 3b^2)\)
 e) \((8x + 5y)(8x - 5y)\)
 f) \(a^2b^2(7b - 3a)(7b + 3a)\) Mise en évidence simple avant de faire la différence de deux carrés.
 g) \(((a - b) + d)((a - b) - d)\)

Décomposez en facteurs les polynômes suivants et si c'est possible, vérifiez.

a) \(\frac {x^2}{49a^2} - \frac {4y^2}{25b^2}\)  

b) \(\frac {a^4}{b^2} - \frac {b^2}{49}\)

 c) \((3x + 3)^2 - (2x + 4)^2\)  

d) \((3x + 5)^2 - 1\)

a)

\(\frac {x^2}{49a^2} - \frac {4y^2}{25b^2}\)   est une différence de deux carrés.

On obtient:\((\frac{x}{7a} - \frac {2y}{5b})\) \((\frac {x}{7a} + \frac {2y}{5b})\)

 

b)\(\frac {a^4}{b^2} - \frac {b^2}{49}\) est une différence de deux carrés.

On obtient: \((\frac{a^2}{b} - \frac {b}{7})\) \((\frac{a^2}{b} + \frac {b}{7})\)

c)\((3x + 3)^2 - (2x + 4)^2\)  est une différence de deux carrés.

On obtient:\(((3x + 3) - (2x + 4))\) \(((3x + 3) + (2x + 4))\) 

Donc:\((x-1)(5x+7)\)

d)\((3x + 5)^2 - 1\)est une différence de deux carrés.

On obtient:\((3x + 5 -1)\) \((3x + 5+1)\)

Donc: \((3x+6)(3x+4)\)=\(3(x+2)(3x+4)\)

Parmi les polynomes suivants, quels sont ceux qui représentent un trinôme carré parfait?

a) \(x^2+6x+9\)

b) \(x^2-20x+16\)

c) \(4x^2+12xy+9y^2\)

d) \(c^2-14c +49\)

e) \(y^2+12y-36\)

f) \(x^2-8x+4\)

g) \(4b^2-4b+16\)

h) \(36-12a +a^2\)

i) \(9a^2+36a +36\)

j) \(y^2-6xy+9\)

k) \(25x^2+10x +4\)

a) \((x+3)^2\)
c) \((2x+3y)^2\)
d) \((c-7)^2\)
h) \((a-6)^2\)
i) \((3a+6)^2\)

Décomposez en facteurs les polynômes suivants et vérifiez.

a) \(9x^2-12x+4\)

b) \(25x^2+10x+1\)

c) \(36-60x^2+25x^4\)

d) \(x^6-4x^4+4x^2\)

e) \(16x^4+40x^2+25\)

f) \(1+14x+49x^2\)

g) \(64-48x+9x^2\)

h) \(25x^2+40xyz+16y^2z^2\)


 

Rappel:   (cm)n = cmn

a)\((3x-2)^2\)
b)\((5x+1)^2\)
c)\((6-5x^2)^2\)
d)\((x^3-2x)^2\) car x6 = (x³)²   ou  \(x^2(x^2-2)^2\)
e)\((4x^2+5)^2\) car x4 = (x²)²
f)\((1+7x)^2\)
g)\((8-3x)^2\)
h)\((5x+4yz)^2\)

Le polynôme 64x² - 80x + 25 représente l'aire d'un carré.

Quel binôme représente la mesure d'un côté de ce carré?

La mesure du côté du carré est (8x - 5).

La différence de deux carrés

Le trinôme carré parfait